算法之 数论
文章目录
- 质数
- 判断质数
- 3115.质数的最大距离
- 质数筛选
- 204.计数质数
- 2761.和等于目标值的质数对
质数
质数的定义:除了本身和1,不能被其他小于它的数整除,最小的质数是 2
求解质数的几种方法
法1,根据定义,直接求解
def zhi(i):if i == 1:return Falsefor j in range(2,i):if i % j ==0:return Falsereturn True
法2:优化暴力的解法,判断的时候只用判断到根号n,因为你如果存在一个大于根号n的因子,那就说明会存在一个小于根号n的因子,所以就不用重新判断
def zhi(i):if n <= 1:return Falsefor i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):if n % i == 0:return Falsereturn True
常用的素数筛:
埃氏筛
def eratosthenes_sieve(n):is_prime = [True] * (n + 1) # 初始化所有数为质数is_prime[0] = is_prime[1] = False # 0 和 1 不是质数for i in range(2, int(n**0.5) + 1): # 只需遍历到 sqrt(n)if is_prime[i]: # 如果 i 是质数for j in range(i * i, n + 1, i): # 标记 i 的所有倍数为合数is_prime[j] = Falseprimes = [i for i, prime in enumerate(is_prime) if prime] # 提取所有质数return primes
欧式筛
def euler_sieve(n):is_prime = [True] * (n + 1) # 初始化所有数为质数primes = [] # 存储筛选出的质数for i in range(2, n + 1):if is_prime[i]:primes.append(i) # i 是质数,加入 primes 数组for p in primes:if i * p > n:break # 超过范围,退出循环is_prime[i * p] = False # 标记 i * p 为合数if i % p == 0: # 说明 p 是 i 的最小的质因数break # 保证每个合数只被最小质因数筛掉return primes
判断质数
3115.质数的最大距离
3115.质数的最大距离

思路分析:采用双指针进行判断,这样可以快速求解
class Solution:def maximumPrimeDifference(self, nums: List[int]) -> int:# 策略,使用双指针,从两边进行遍历,如果发现是质数就停下来# 判断质数def zhi(i):if i == 1:return Falsefor j in range(2,i):if i % j ==0:return Falsereturn Truen = len(nums)# 双指针l,r = 0,n-1while not zhi(nums[l]):l+=1while not zhi(nums[r]):r-=1return r-l
质数筛选
204.计数质数
204.计数质数

思路分析:直接考虑使用欧式筛,注意题目是小于n的素数个数
class Solution:def countPrimes(self, n: int) -> int:# 两种做法,可以采用欧式筛def euler(m):isprime = [True]*(m+1) # 存储判断i是否是素数prime = []for i in range(2,m):# 如果是素数if isprime[i]:prime.append(i)for j in prime:if i*j > m:breakisprime[i*j] = Falseif i%j ==0:break # 确保每个数字只能被最小的质因数筛选return primereturn len(euler(n))
2761.和等于目标值的质数对
2761.和等于目标值的质数对

思路分析:首先使用欧拉筛进行筛选出小于等于n的素数的情况,然后使用双指针进行判断
class Solution:def findPrimePairs(self, n: int) -> List[List[int]]:# 先使用欧式筛进行预处理def euler(m):isprime = [True]*(m+1)prime = []for i in range(2,m+1):if isprime[i]:prime.append(i)for j in prime:if i*j > m:breakisprime[i*j] = Falseif i%j == 0:breakreturn primeprime = euler(n)# 还是采用双指针吧length = len(prime)l,r = 0,length-1ans = []while l<=r:if prime[l]+prime[r] < n:l+=1elif prime[l]+prime[r] == n:ans.append([prime[l],prime[r]])l+=1r-=1else:r-=1# 排序非递减排序ans.sort(key=lambda x : x[0])return ans
2521.数组乘积中的不同质因数数目
2521.数组乘积中的不同质因数数目

思路分析:通过不断的判断
class Solution:def distinctPrimeFactors(self, nums: List[int]) -> int:s = set()for x in nums:i = 2while i*i <=x:if x % i == 0:s.add(i)x //= iwhile x%i == 0:x//=i i+=1# 最后可能只剩下那个数直接加进去if x>1:s.add(x)return len(s)相关文章:
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