武忠祥老师每日一题||不定积分基础训练（四）

$$\int \frac{\mathrm{dx}}{1+x^3}$$
解法一：
待定系数法：
$$\int \frac{dx}{1+x^3}$$
$$=\int \frac{dx}{(1+x)(x^2-x+1)}$$
$$=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{x+1}+\frac{-x+2}{x^2-x+1})\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{3}[\ln |x+1|-\frac{1}{2}\int \frac{(2x-1)-3}{x^2-x+1}\mathrm{d}x]$$
$$=\frac{1}{3}[\ln |x+1|-\frac{1}{6}\int \frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{3}[\ln |x+1|-\frac{1}{6}\ln |x^2-x+1|+\frac{1}{2}\times \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\arctan \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+C$$
$$=\frac{1}{3}[\ln |x+1|-\frac{1}{6}\ln |x^2-x+1|+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C$$

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草稿：
$$原式=\int (\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1})\mathrm{d}x$$
$$则A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)=1$$
$$即A+B=0;-A+B+C=0;A+C=1$$
$$解得C=\frac{2}{3},A=\frac{1}{3},B=-\frac{1}{3}$$

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解法二：
灵活应用加项减项
可以看武忠祥老师每日一题||不定积分基础训练（三）
$$\int \frac{1}{1+x^3}\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{2}\int \frac{(1+x)+(1-x)}{1+x^3}\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{2}\int \frac{(1+x)+(1-x)}{(1-x+x^2)(1+x)}$$
$$=\frac{1}{2}[\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+\ln |x+1|-\frac{1}{3}\ln |x^3+1|]+C$$

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类题拓展：
$$\int \frac{x}{1+x^3}\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{2}\int \frac{(1+x)-(1-x)}{1+x^3}\mathrm{d}x$$
$$=\frac{1}{2}[\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}-(\ln |x+1|-\frac{1}{3}\ln |x^3+1|)]+C$$