武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（十）

已知f(x)连续$${\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=1-\cos x,求{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx的值。$$
已知一个关于f的变上限积分等式，（变上限积分函数的特点，求导比较容易）所以可以等式两边同时求导。
但是对于这个题目，不可以直接求导。在变上限函数中，t是积分变量，而x不是。
对于这类题目，有一个通用方法----做变量代换，把x-t换成变量u。
❗❗❗变量代换注意换上下限，下面容易出错！

令u=x-t <=> t=x-u

$$\begin{gathered} dt=-du,但是当发生变量代换时：t=0，u=0； \\ t=x,u=-x \end{gathered}$$
$$这时原式=-{\int }_0^{-x}(x-u)f(u)du={\int }_0^x(x-u)f(u)du$$

原式=$${\int }_0^x(x-u)f(u)du$$
$$=x{\int }_0^{x}f(u)du-{\int }_0^{x}uf(u)du$$
对等式两边同时求导得，
$${\int }_0^{x}f(u)du+xf(x)-xf(x)=\sin x$$
即$${\int }_0^{x}f(u)du=\sin x$$
这时对等式两边再次同时求导，得
$$f(x)=\cos x$$
这时，题目要求的
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx$$
$$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx$$
$$=\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1$$