线性代数(主题篇)：第三章:向量组 、第四章:方程组

第3章 n维向量

1.概念

$\S 3$ 向量组 $\{\begin{array}{l}①部分相关，整体相关\\ ②整体无关，部分无关\\ ③低维无关，高维无关\\ ④高维相关，低维相关\end{array}$

(1)n维单位列向量

$\alpha =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ ...\\ a_n\end{array}\right),{\alpha }^T=(a_1,a_2,a_3,...,a_n)$

性质：若α是n维列向量，则
1.
①一列乘一行，是矩阵：$\alpha {\alpha }^T$ 是 $n\times n$阶方阵
②一行乘一列，是一个数：${\alpha }^T\alpha =||\alpha |{|}^2$

2.$tr(\alpha {\alpha }^T)={\alpha }^T\alpha$
3.$r(\alpha {\alpha }^T)=1$
4.$(\alpha {\alpha }^T{)}^T=\alpha {\alpha }^T，\therefore \alpha \cdot {\alpha }^T$是n阶实对称方阵，可以相似对角化，
$\alpha \cdot {\alpha }^T\sim \left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 0& & \\ & & ...& \\ & & & 0\end{array}\right)$

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例题1：17年5.

分析：不可逆，即|A|=λ₁λ₂λ₃…=0，即有0特征值

$\alpha {\alpha }^T\sim \left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 0& & \\ & & ...& \\ & & & 0\end{array}\right)$，显然 $E-\alpha {\alpha }^T$有零特征值，不可逆

答案：A

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2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性)

(1)线性表示 ：AX=β

若存在常数$k_1,k_2,...,k_s,$使得$\alpha =k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2+...+k_s{\beta }_s，$则称向量$\alpha$是向量组${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s$的线性组合，或称向量$\alpha$可被向量组${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_s$线性表示(线性表出)

哪个向量前面的系数不为0，这个向量就可以被其余向量线性表示

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例题1：03年10.

答案：D

例题2：数二 21年9.   线性表示

分析：

答案：D

例题3：20年6.   直线的点向式方程→直线的参数方程→直线参数方程的向量形式 + 线性表示

分析：

答案：C

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(2)线性相关、线性无关： AX=0

①线性相关

1.定义：设向量组α₁,α₂,…,α_s，若存在不全为0的数k₁,k₂,…,k_s，使 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_s{\alpha }_s=0$，则称向量组α₁,α₂,…,α_s线性相关

2.线性相关的充要条件：α₁,α₂,…,α_s中至少有一个向量可以被其他向量线性表示

线性相关的向量组中，系数不为0的向量，可由其他向量线性表示

3.线性相关的等价条件：
⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表出

4.通过初等变换，无关 可变 相关，但 已相关 不可回 无关

5.含有零向量或成比例向量的向量组，必线性相关
显然，若向量组中有零向量，则向量组线性相关。(可取零向量α₀的系数k₀为任意非零常数，破坏了线性无关的定义。)
即含有零向量的向量组线性相关。
本来线性无关的向量组，加入一个零向量，它们就线性相关了。可见零向量就是一个润滑剂

②线性无关

1.定义：设向量组α₁,α₂,…,α_s，若不存在不全为0(仅存在全为0)的数k₁,k₂,…,k_s，使k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0，则称向量组α₁,α₂,…,α_s线性无关

2.推论：设向量组α₁,α₂,…,α_s线性无关，但向量组α₁,α₂,…,α_s,β线性相关。则向量β可由向量组α₁,α₂,…,α_s线性表示，且表示法唯一。

3.线性无关的等价条件：
①行列式|A|≠0
②A可逆
③满秩：r(A)=n
④AX=0仅有零解
⑤向量组不成比例

③线性相关性7大定理

1.线性相关 ⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1向量线性表出
线性无关 ⇦⇨ 任一向量均不能由其余n-1个向量线性表出

2.原来无关，加一个相关，则新加的可被原向量组 唯一线性表示

证明：

非0不可由0表示：若向量α第k行非0，其他向量第k行均为0，则α不可由其他向量线性表示
0向量可由非0向量表示：零向量 = 0×非零向量

3.以少表多，多的相关、秩多的可以表示秩少的

高维空间可表示低维空间，反之不可 【秩多的可以表示秩少的】

4.Ax=0 仅有零解，A线性无关；有非零解，A线性相关


①n<m：必相关
方程个数<未知数个数，即维数<个数，则线性相关。
n维向量空间，若向量组线性无关，最多只能有n个向量。即维数≥个数。

②n=m：看行列式

③n>m：见定理6、7 + 方程组结论

5.①β可由向量组α₁,α₂,…,α_m线性表出 ⇦⇨ A_n×mx = β 有解 ⇦⇨ r(A)=r(A,β)
②β不可由向量组α₁,α₂,…,α_m线性表出 ⇦⇨ A_n×mx = β 无解 ⇦⇨ r(A)≠r(A,β)

6.向量个数的增减：
①部分相关，整体相关。
②整体无关，部分无关。

7.维数的增减：
①原来无关，延长必无关 【低维无关，高维无关】
②原来相关，缩短必相关 【高维相关，低维相关】

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例题0：张宇30讲 例题3.6   抽象型向量组的线性相关性，用定义法

答案：

例题1：12年05.

分析：
法一：线性相关的充要条件：线性相关⇦⇨行列式=0
∵|α₁,α₃,α₄|=0，∴α₁、α₃、α₄线性相关

法二：线性相关的充分条件：线性相关⇨成比例
∵α₃+α₄=(0,0,c₃+c₄)^T，与α₁成比例，∴α₁、α₃、α₄线性相关

答案：C

例题2：06年11.

分析：
若已经相关了，则初等变换后依然相关，不能再变回无关了。（若变换后是无关，则变换前肯定也得是无关）
若本来无关，通过变换可能相关。

答案：A

例题3：06年11.真题的变式

答案：C

例题4：14年6.   线性无关、必要性与充分性

分析：
①必要性成立，是必要条件

②充分性不成立，是非充分条件（若向量组中有一个零向量，则该向量组线性相关）

答案：A

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3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩

1.极大线性无关组

(1)概念
①线性无关
②向量组中任意向量均可由极大线性无关组线性表出

(2)性质
①极大线性无关组一般不唯一，但其成员个数是唯一的。极大线性无关组是该向量组的最简小组
②向量组的秩：①极大线性无关组中成员的个数 ②向量组中线性无关的向量个数 ③秩为该向量组所张成的向量空间的维数

(3)找极大线性无关组的步骤
①将列向量们组成矩阵A，作初等行变换化为行阶梯形矩阵，确定r(A)
②按列找出其中一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组

2.等价向量组

1.矩阵等价：①同型 ②秩等:r(A)=r(B)
向量组等价：①同维 ②r(A)=r(B)=r(A,B) ，即两个向量组可以相互线性表出

2.初等行变换：行向量组等价
 初等列变换：列向量组等价

等价矩阵和等价向量组

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例题1：23李林四(一)5.   向量组等价：型同、秩等、相互表出

分析：

答案：B

例题2：13年5.

答案：B

例题3：00年9.

分析：

答案：D

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3.向量组的秩

1.向量组的秩的概念：
①向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$ 的极大线性无关组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_r}$ 中所含向量的个数r 为 向量组的秩，记作 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s)=r$
②向量组中线性无关的向量个数
③秩为该向量组所张成的向量空间的维数

2.性质：
①矩阵的秩 = 行秩 = 列秩 (三秩相等)
②秩大的表示秩小的，可被线性表出的秩小

4.向量空间

(1)向量空间的概念

过渡矩阵、坐标、基、维数
①维数：${\mathrm{R}}^n$ 指n维向量空间，由n个线性无关的n维向量张成
②基：证明向量组为R³的基，只需要证明向量组中各向量线性无关
③过渡矩阵：$AP=B$，则 过渡矩阵 $P=A^{-1}B$
④坐标：向量 = 坐标·基

基变换、过渡矩阵

坐标变换

(2)基

向量空间的基的2个必要条件：设V为向量空间，若r个向量α₁,α₂,…,α_r∈V，且满足
(1)α₁,α₂,…,α_r线性无关 【证明向量组为R³的基，只需要证明向量组中各向量线性无关】
(2)V中任意向量都可由α₁,α₂,…,α_r线性表示
则向量组α₁,α₂,…,α_r称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间

基的概念类似极大线性无关组、基础解系
若把向量空间V看作向量组，则由极大线性无关组的等价定义可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。

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例题：15年20(1)

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(3)基变换的过渡矩阵

求A基到B基的过渡矩阵：（右乘列变换）
AP=B，则过渡矩阵 P=A^-1B

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例题1：03年4.

分析：$AP=B\therefore P=A^{-1}B$。注意二阶求逆时，先求A*，还要除以|A|。这里|A|=-1

答案：$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

例题2：19年20.

分析：
(2)①证明3个向量是R³的基，只需证明它们线性无关 [向量的基线性无关]
②求A基到B基的过渡矩阵：
AP=B，则过渡矩阵 P=A^-1B

答案：

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(4)向量在基下的坐标

向量 = 坐标·基

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例题0：

例题1：23李林四(二)15.

分析：

答案：$(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$

例题2：15年20.

分析：
(1)证明向量组是R³的一个基，只需要证明向量组线性无关
(2)坐标

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第4章 线性方程组

(一)具体型线性方程组

1.齐次线性方程组 Ax=0

齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$

m为所给方程个数，n为未知数个数。m<n时就有自由变量

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例题：18年20.(1)

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(1)有解的条件：齐次线性方程组解的判别

AX=0，齐次必然有解。
①$r(A)=n$ (${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性无关)：唯一零解。
②$r(A)<n$ (${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性相关)：无穷多个非零解 和零解 。且有n-r个线性无关解 (用这n-r个线性无关解，来表示这无穷多个解)

$Ax=0$的无穷多解是一个“解空间”，用$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...,k_{n-r}{\xi }_{n-r}$表示（s=n-r）

(2)解的性质：齐次解的性质

解的叠加性：解的线性组合也是解

(3)基础解系、通解的结构

①基础解系

1.基础解系的定义：
设${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$满足
①是方程组$Ax=0$的解
②线性无关
③有s=n-r个。方程组$Ax=0$的任一解向量均可由${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$线性表出
则称 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的基础解系。
基础解系是齐次方程组 $Ax=0$ 的解向量集合的极大线性无关组。

2.基础解系的求法：见(4)求解方法与步骤的前三步

②通解的结构

(1)齐次
①先求出$n-r(A)$个线性无关的基础解系
②每一个基础解系前面加一个$k_i$，基础解系的线性组合即为齐次线性方程组的通解。
则齐次方程组的通解为：$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3+...k_{n-r}{\xi }_{n-r}$

(2)非齐次
若非齐次方程组$AX=\beta$的特解为$\beta$，则非齐次方程组的通解为：$X=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3+...+...+k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\beta$

通解形成“s维解空间”，s=n-r

③自由变量

(1)谁是自由变量：化行阶梯/行最简矩阵时，不在直角边上的$x_i$为自由变量

(2)自由变量/线性无关的解向量的个数：$n-r(A)$

(3)自由变量的设置：
①1个自由变量：1
②2个自由变量：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$

③3个自由变量：$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

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例题1：14年20

分析：
(2)A_3×4B_4×3=E_3×3
由于A和B都不是方阵，故AB都不可逆，更没有行列式。
考虑拆分，B=(b₁,b₂,b₃)，E=(e₁,e₂,e₃)。则AB=E被拆成Ab₁=e₁,Ab₂=e₂,Ab₃=e₃

b_i=k_iξ+特解，k为任意常数

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(4)求解方法和步骤

2.基础解系(前3步)、通解求法：
①把A化为行阶梯/行最简矩阵 (方程组经初等行变换转化为同解方程组)

②找出一个秩为r=r(A)的子矩阵，基础解系为s=n-r个，把n-r(A)个$x_i$设为自由变量。(有同阶的才能设为自由变量)
(例如n=5，r(A)=3，s=n-r=5-3=2，基础解系有2个成员${\xi }_1,{\xi }_2$
设$x_4,x_5$为自由变量，则${\xi }_1,{\xi }_2$的最后两维：(1,0) (0,1)，即${\xi }_1=(,,1,0{)}^T,{\xi }_2=(,,0,1{)}^T$。

③根据行阶梯/行最简矩阵，由最后一行倒着开始求其余变量的值，直至第一行，求出一个解向量${\xi }_1$；再从最后一行开始求，得到第二个解向量${\xi }_2$；直至求完所有解向量${\xi }_{n-r}$

④齐次线性方程组的通解为：$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...+k_{n-r}{\xi }_{n-r}$

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例题1：19年13.

分析：

答案：$X=k\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$，k为任意常数

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2.非齐次线性方程组 Ax=β

非齐次线性方程组 A_m×nx=β，可组合成AX=B

①方程组形式：$AX=\beta$
②向量形式：

①方程组的解 $x_1,x_2,...x_n$，就是向量与向量之间的表示系数
②齐次线性方程组Ax=0，称为非齐次线性方程组Ax=β的导出组

(1)有解的条件：非齐次线性方程组解的判别

①$r(A)\ne r(A,\beta )$ (即 r(A)+1=r(A,β)，β不能由α₁,α₂,α₃线性表示)：非齐次线性方程组无解，
②$r(A)=r(A,\beta )$ (β可由α₁,α₂,α₃线性表示)：非齐次线性方程组 AX=β有解，
③$r(A)=r(A,\beta )=n$ (β可由α₁,α₂,…,α_n线性表示且表示法唯一)：非齐次线性方程组有唯一解，
④$r(A)=r(A,\beta )<n$ (β可由α₁,α₂,…,α_n线性表示且表示法不唯一)：非齐次线性方程组有无穷多解

(2)解的性质：非齐次解的性质

①非齐次特解做差，是齐次特解
②非齐次通解：齐次通解 + 非齐次特解

(3)求解方法和步骤

①求齐次方程组的基础解系，进而求齐次方程组的通解 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+...k_{n-r}{\xi }_{n-r}$ 【注意，基础解系是齐次的，等式右边为0】
②求特解 $\eta$：令自由项均为0，等式右边为自由项${\beta }_i$。从最后一行开始，代入求解，直至第一行
③拼起来，即为非齐通解

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例题1：23李林六套卷(二)15.

分析：β不能由α₁,α₂,α₃线性表示，即非齐次线性方程组无解，$r(A)\ne r(A,\beta )$

答案：0

例题2：12年20(2)

分析：
(2)Ax=β有无穷多解，则$r(A)=r(\bar{A})<n$，即r(A)<n，即 |A|=0

化为行最简后，先求齐次解Ax=0得基础解系ξ=(1,1,1,1)^T。特解即为此时的β’=(0,-1,0,0)^T。通解X=kξ+β’=k(1,1,1,1)^T+(0,-1,0,0)^T，k为任意常数

例题3：13年20.

分析：设$C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$，由AC-CA=B得出含x的方程组，写为系数矩阵D的增广矩阵$\bar{D}$，化为行最简矩阵。这时就可以通过非齐次线性方程组解的判别条件$r(D)=r(\bar{D})$来求a，b的值了。求出后把a,b代入$\bar{D}$，求出齐次方程组的基础解析${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$，${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$,非齐次通解X=$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

∴$C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$=…

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(4)非齐次线性方程组的几何意义：3个方程代表3个平面，交点代表解的个数

方程组有3个方程，每个方程代表一个平面。3个平面的交点个数代表方程组的解的个数。
若三个平面相交于同一条直线，则$r(A)=r(\bar{A})=2$

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例题1：23李林六套卷(三)7.

分析：3个平面相较于一条直线，则有无穷多个交点，则$r(A)=r(\bar{A})<3$
$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& b& |3\\ 2& a+1& b+1& |7\\ 0& 1-a& 2b-1& |0\end{array}\right)$
显然，第三行要为全0，则a=1,b=1/2

答案：B

例题2：02年10.   系数矩阵秩、增广矩阵秩 用空间中的平面表示

分析：
A.三个平面只有一个交点，方程组有唯一解，$r(A)=r(\bar{A})=3$。A❌
B.三个平面相较于同一条直线，即方程组有无穷多个解，$r(A)=r(\bar{A})=2<3$。B✔
C.两两相交，互不平行：$r(A)=2，r(\bar{A})=3$。 C❌
D.两平面平行，第三个平面与这两个平行平面分别相交：$r(A)=2，r(\bar{A})=3$。D❌

答案：B

例题3：19年6.

答案：A

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(二)抽象型线性方程组

4.解就是系数

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例题1：基础30讲线代分册   求非齐次线性方程组的通解、解的性质

分析：
①非齐通的解结构：非齐通 = 齐通 + 非齐特
②解的性质：i.${\eta }_1-{\eta }_2$为齐次特解 ii.$\frac{1}{2}({\eta }_1+{\eta }_2)$为非齐次特解，$\frac{1}{3}({\eta }_3+2{\eta }_2)$为非齐次特解 iii.$\frac{1}{2}({\eta }_1+{\eta }_2)-\frac{1}{3}({\eta }_3+2{\eta }_2)$也为齐次通解，乘6倍后 $3({\eta }_1+{\eta }_2)-2({\eta }_3+2{\eta }_2)$仍为齐次通解

本题不必求出${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$各自的值

答案：

例题2:

分析：
① r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤min\{ r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}：由题得r(AB)=2≤min{ r(A),r(B} ∴r(A)≥2，r(B)≥2
又∵秩=行秩=列秩≤min{m,n}，∴r(A)≤2，r(B)≤2
故r(A)=r(B)=2

②线性无关解的个数 $s=n-r$
$s_A=n_A-r(A)=3-2=1$
$s_B=n_B-r(B)=2-2=0$

答案：B

例题3：

分析：
①s=n-r(A)=1 ∴r(A)=3 ∴r(A*)=1 ∴s*=n-r(A*)=3 排除AB
②(1,0,1,0)^T是Ax=0的一个基础解系(其中A=(α₁,α₂,α₃,α₄))，即α₁+α₃=0，即α₁与α₃能相互线性表示，线性相关。故A*x=0的基础解系只能选 124或234。选D

答案：D

例题4：

答案：

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(三)方程组的公共解、同解方程组

1.方程组的公共解

①齐次线性方程组$A_{m\times n}x=0$和$B_{m\times n}x=0$的公共解，是满足方程组$\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]x=0$的解，即联立求解
②增加约束，使其相等：令$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2=l_1{\eta }_1+l_2{\eta }_2$，找到k1k2关系，将二维解空间化为一维解空间

2.同解方程组

1.定义/概念：两个方程组 $A_{m\times n}x=0$ 和 $B_{m\times n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组

2.性质：
  $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 为同解方程组
⇦⇨解完全相同：即Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0 (互相把解代入，求出结果即可)
⇦⇨A与B的行向量组为等价向量组
⇦⇨$r(A)=r(B)=r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}\right)$

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例题1：

例题2：设A_m×n，证明r(A)=r(A^TA)

证明：

∴r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)，对任意A_m×n均成立

例题3：22年6.

分析：
①仅有零解 ⇦⇨ 系数矩阵满秩
②齐次方程组的同解变形 ⇦⇨ 矩阵的初等行变换

答案：C

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