25.8 matlab里面的10中优化方法介绍—— 拉各朗日乘子法求最优化解（matlab程序）

1.简述

      

拉格朗日乘子法：

• 拉格朗日乘子法（Lagrange multipliers）是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法。
• 通过引入拉格朗日乘子，可将有 变量与 约束条件的最优化问题转化为具有变量的无约束优化问题求解

举个例子：

• 求 最小值，约束条件，可以用下图表示。
• 这是一个等式约束，即约束条件是等式。当然约束条件也可以是不等式。
• 像这种需要在约束条件下求极值的问题，我们就可以用拉格朗日乘子法来做。

等式约束：

当约束条件是等式的时候

直观操作步骤：

• 画出约束条件曲线 
• 画出等高线
• 找到 相交的点中的  取得最小值的点（相切的位置），输出此时的 值。

那么，我们能得到什么信息呢？

• 约束曲线与极值曲线相切的点为极值点 x∗ 。
  • 对于约束曲面上的任意点 x ，该点的梯度 ∇(x) 正交于约束曲面。
  • 在最优点 x∗ ，目标函数在该点的梯度 ∇(x∗) 正交于约束曲面。

由此可知，在最优点 x∗ ，梯度 ∇(x) 和 ∇x) 的方向必相同或相反，即存在 ≠0 ，使得： ∇(x∗)+∇x∗)=0 ，  称之为拉格朗日乘子。

2.代码

主程序：

x=zeros(1,2);
%用syms表示出转化后的无约束函数
syms x y lama
f=x+y+lama*(x^2+y^2-2);
%分别求函数关于x、y、lama的偏导
dx=diff(f,x);
dy=diff(f,y);
dlama=diff(f,lama);
%令偏导为零求解x、y
xx=solve(dx,x); %将x表示为lama函数
yy=solve(dy,y);  %将y表示为lama函数
ff=subs(dlama,{x,y},{xx,yy}); %代入dlama得关于lama的一元函数
lamao=solve(ff); %求解得lamao
xo=subs(xx,lama,lamao) %求得取极值处的xo
yo=subs(yy,lama,lamao)  %取极值处的yo
fo=subs(f,{x,y,lama},{xo,yo,lamao}) %极值点函数值

3.运行结果