二元函数可微 切平面逼近 线性函数逼近

二元函数 $f(x,y)$ 在某点可微 的含义，可以从几何直观、严格数学定义、与一阶偏导数的关系三个层面来理解：

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🔹1. 几何直观上的含义（最易理解）

二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，意味着它的图像在这一点附近可以被一个切平面很好地逼近。
也就是说，在该点处，函数的图像看起来非常接近一个平面，这个平面就是它的切平面。

✅ 图像上表现为“光滑无尖点、无突变”。

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🔹2. 数学定义上的含义

函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，指存在常数 $A$ 和 $B$，使得函数在该点附近有如下表达式：

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2})$$

• 其中 $o(\cdot )$ 是高阶无穷小，意味着这个误差项随着 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 比线性项还快地趋近于 0。
• $A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$，也就是说偏导数就是这个线性逼近的系数。

等价形式：

$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\text{高阶小量}$$

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✅ 总结：可微的真正含义

层面	含义
几何角度	图像在该点附近是平滑的，有一个切平面可以很好地逼近函数图像
数学定义	函数增量可以被一阶线性函数逼近，误差为高阶无穷小
和偏导关系	偏导数存在且连续 ⇒ 可微，但反之不一定