P1156 垃圾陷阱（背包变形）

垃圾陷阱

题目描述

卡门――农夫约翰极其珍视的一条 Holsteins 奶牛――已经落了到 “垃圾井” 中。“垃圾井” 是农夫们扔垃圾的地方，它的深度为 $D$（$2\le D\le 100$）英尺。

卡门想把垃圾堆起来，等到堆得与井同样高时，她就能逃出井外了。另外，卡门可以通过吃一些垃圾来维持自己的生命。

每个垃圾都可以用来吃或堆放，并且堆放垃圾不用花费卡门的时间。

假设卡门预先知道了每个垃圾扔下的时间 $t$（$1\le t\le 1000$），以及每个垃圾堆放的高度 $h$（$1\le h\le 25$）和吃进该垃圾能维持生命的时间 $f$（$1\le f\le 30$），要求出卡门最早能逃出井外的时间，假设卡门当前体内有足够持续 $10$ 小时的能量，如果卡门 $10$ 小时内（不含 $10$ 小时，维持生命的时间同）没有进食，卡门就将饿死。

输入格式

第一行为两个整数，$D$ 和 $G$（$1\le G\le 100$），$G$ 为被投入井的垃圾的数量。

第二到第 $G+1$ 行每行包括三个整数：$T$（$1\le T\le 1000$），表示垃圾被投进井中的时间；$F$（$1\le F\le 30$），表示该垃圾能维持卡门生命的时间；和 $H$（$1\le H\le 25$），该垃圾能垫高的高度。

输出格式

如果卡门可以爬出陷阱，输出一个整数，表示最早什么时候可以爬出；否则输出卡门最长可以存活多长时间。

样例 #1

样例输入 #1

20 4
5 4 9
9 3 2
12 6 10
13 1 1

样例输出 #1

13

提示

【样例说明】

卡门堆放她收到的第一个垃圾：$\mathrm{height}=9$；

卡门吃掉她收到的第 $2$ 个垃圾，使她的生命从 $10$ 小时延伸到 $13$ 小时；

卡门堆放第 $3$ 个垃圾，$\mathrm{height}=19$；

卡门堆放第 $4$ 个垃圾，$\mathrm{height}=20$。

大致思路

分析题目，我们需要求的答案是时间，于是很自然而然的想到j描述高度或生命，而dp数组存放时间。很显然，这样状态既不完整，也写不出转移方程。而且dp数组存的是当前状态下最大或最小的价值，似乎也不满足。

这时候我们发现，有4个值可能成为状态，高度，生命，物品和时间，难道要dp三维的吗？

再分析题目，每个垃圾都有一个下落的时间，奶牛一定是在垃圾丢下来的时间就处理垃圾的（可以得出这样的最优的），那么物品就可以和时间关联起来了。这时候，我们可以把时间仅仅当作干扰量给剔除了。

需要注意的是，物品的使用顺序并不是随意的，必须按它们下落的时间顺序来先后处理。（这里排一下序即可）

那么j代表什么呢？

一下子我们并不能得出答案。先尝试dp[i][j]dp[i][j]代表前i件物品处理后在j血量时达到的最大高度。

值得一提的是，j血量表示奶牛在暂时不考虑时间时所得到的最大血量

据说这个是叫离线

试着写一下它的状态转移方程

$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+trash[i].h,dp[i-1][j+trash[i].c])$$

发现这是对的，然而我们再想想，在关于j的一重循环里面，对j的取值我们似乎并不好判断，甚至要枚举很大。

所以我们再尝试讨论dp[i][j]dp[i][j]代表前i件物品处理后在h高度时达到的最大血量。

状态转移

$$dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+trash[i].c,dp[i-1][j-trash[i].h])$$

发现这样也是对的，而且j枚举起来也比较方便，于是我们选择这种算法。

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d,g;
struct node{int tim,sur,high;
}a[555];
int f[555];
bool cmp(node aa,node bb){return aa.tim<bb.tim;
}
int main(){cin>>d>>g;for(int i=1;i<=g;i++){cin>>a[i].tim>>a[i].sur>>a[i].high;}sort(a+1,a+1+g,cmp);f[0]=10;for(int i=1;i<=g;i++){for(int j=d;j>=0;j--){if(f[j]>=a[i].tim){if(j+a[i].high>=d){cout<<a[i].tim;return 0;}f[j+a[i].high]=max(f[j],f[j+a[i].high]);f[j]+=a[i].sur;}}}cout<<f[0];return 0;
}

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