数据结构（四）：树、二叉树、二叉搜索树

本节详细笔记请参考大佬博客：二叉树的理解

一、树

1.树结构

• 树（Tree）:由 n（n ≥ 0）个节点构成的有限集合。当 n = 0 时，称为空树。
  对于任一棵非空树（n > 0），它具备以下性质：
• 数中有一个称为根（Root）的特殊节点，用r表示；
• 其余节点可分为 m（m > 0）个互不相交的有限集合 ：T1，T2，…，Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的子树（SubTree）。

2.树的常用术语

• 节点的度（Degree）：节点的子树个数，比如节点B的度为2； 树的度：树的所有节点中最大的度数，如上图树的度为2；
• 叶节点（Leaf）：度为0的节点（也称为叶子节点），如上图的H，I等；
• 父节点（Parent）：度不为0的节点称为父节点，如上图节点B是节点D和E的父节点；
• 子节点（Child）：若B是D的父节点，那么D就是B的子节点；
• 兄弟节点（Sibling）：具有同一父节点的各节点彼此是兄弟节点，比如上图的B和C，D和E互为兄弟节点；
• 路径和路径长度：路径指的是一个节点到另一节点的通道，路径所包含边的个数称为路径长度，比如A->H的路径长度为3；
• 节点的层次（Level）：规定根节点在1层，其他任一节点的层数是其父节点的层数加1。如B和C节点的层次为2；
• 树的深度（Depth）：树种所有节点中的最大层次是这棵树的深度，如上图树的深度为4；

二、二叉树

1.什么是二叉树

如果树中的每一个节点最多只能由两个子节点，这样的树就称为二叉树；

二叉树的特性：
1、 一个二叉树的第 i 层的最大节点树为：2(i-1)，i >= 1；
2、 深度为k的二叉树的最大节点总数为：2k - 1 ，k >= 1；
3、对任何非空二叉树，若 n0 表示叶子节点的个数，n2表示度为2的非叶子节点个数，那么两者满足关系：n0 = n2 +1；如上图所示：H，E，I，J，G为叶子节点，总数为5；A，B，C，F为度为2的非叶子节点，总数为4；满足n0 = n2 + 1的规律。

2.二叉树的数据存储

常见的二叉树存储方式为数组和链表

（1）使用数组存储

完全二叉树，按照从上到下，从左到右的顺序存储

使用数组存储时，取数据的时候也十分方便：左子节点的序号等于父节点序号 * 2，右子节点的序号等于父节点序号 * 2 + 1 。

[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] => [A,B,C,D,E,F,G,H,I]

非完全二叉树需要转换成完全二叉树才能按照上面的方案存储，这样会浪费很大的存储空间。

[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13] => 
[A,B,C,null,null,F,null,null,null,null,null,null,M,]

（2）使用链表存储

二叉树最常见的存储方式为链表：每一个节点封装成一个Node，Node中包含存储的数据、左节点的引用和右节点的引用。

三、二叉搜索树

1.这是什么东西

二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称为二叉排序树和二叉查找树。

二叉搜索树是一颗二叉树，可以为空，但是如果不为空的话，需要满足以下条件。

条件1：非空左子树的所有键值小于其根节点的键值。比如三中节点6的所有非空左子树的键值都小于6；
条件2：非空右子树的所有键值大于其根节点的键值；比如三中节点6的所有非空右子树的键值都大于6；
条件3：左、右子树本身也都是二叉搜索树；

总结：二叉搜索树的特点主要是较小的值总是保存在左节点上，相对较大的值总是保存在右节点上。这种特点使得二叉搜索树的查询效率非常高，这也就是二叉搜索树中"搜索"的来源。

2.封装二叉搜索树：结构搭建

作为一个二叉搜索树，应该有一个内部类，该类是节点类，应该包含left、key、right三个属性，分别存储的是左子树，键值，右子树。（其实再加个value才对）

3. insert插入节点

主要思路：
1、新建节点类实例，传入键值
2、判断有没有根节点，如果没有根节点，就让根节点指向新插入的节点
3、如果有根节点，就要使用递归，依次向后查找并插入

//插入数据
insert(key) {//1.先生成新的节点let newNode = new Node(key);//2.判断有没有根节点if(this.root == null) {//2.1如果没有根节点，那么当前插入的就是根节点this.root = newNode;}else {//2.2如果有根节点，就调用递归函数this.insertRecursion(this.root, newNode);}
}

那么递归的思路又是什么呢？（其实用循环也可以，但是递归更好）
1、接收一个current参数，指向当前的节点
2、判断插入的节点和当前节点键值大小关系，如果小往左查找，大往右查找
3、以往左查找为例，如果左边节点是空，那么就直接添加到左边
4、如果左边还有节点，那么就要递归调用本函数，继续向下查找。

//插入操作的递归函数（依次向下查找）
insertRecursion(current, newNode) {//1.看一下要往哪边查找if(newNode.key < current.key){//2.1向左查找if(current.left == null) {//3.1如果左节点为空，那么就直接插入current.left = newNode;}else {//3.2如果左节点不为空，就递归调用，直到一直到叶子节点this.insertRecursion(current.left, newNode);}} else {//2.2向右查找，同理if(current.right == null) {current.right = newNode;} else {this.insertRecursion(current.right, newNode);}}
}

测试代码：

//测试代码
let bst = new BinarySearchTree();
bst.insert(11);
bst.insert(7);
bst.insert(15);
bst.insert(5);
bst.insert(9);
console.log(bst);

这样插入得到的树应该长下面这个样子：

4. 遍历二叉树

这里涉及到递归的概念，去看这个老师的视频，讲的非常好：递归和函数调用栈
这个大佬的博客写的也非常好：二叉搜索树的遍历和递归

要先搞清楚递归和函数调用栈的概念，递归函数执行时，先执行函数上文，遇到递归调用时卡住，先依次入栈，全部入栈后依次执行函数下文，然后出栈。

function f(n) {console.log(n+' 入栈');if(n==0) return 0;n + f(n-1);console.log(n+' 出栈');
}
f(3);
结果：3 入栈 => 2 入栈 => 1 入栈 => 0 入栈 => 1 出栈 => 2 出栈 => 3 出栈

（1）前序遍历

根节点 => 左子树 => 右子树
有了上面的递归和函数调用栈的理解，这里就比较好理解了。

我们先来看一下代码：

//2.1前序遍历的递归函数
preOrderRecursion(node) {if(node == null) return false;console.log(node.key);this.preOrderRecursion(node.left);  //递归1//递归完成后调用的是上一个栈顶函数的下一个过程，所以来到了node.rightthis.preOrderRecursion(node.right); //递归2
}
//2.2前序遍历
preOrderTraversal() {this.preOrderRecursion(this.root);
}

解析一下上面的图：

第一次调用传入的是根节点，输出11入栈 =>

卡在11的递归1（node.left 指向 7） =>

11的递归1调用，输出7入栈 =>

卡在7的递归1（node.left 指向 5） =>

7的递归1调用，输出5入栈 =>

卡在5的递归1（node.left 指向 null） =>

直接return了，5的左子节点null的递归函数出栈 =>

进入5的递归2，函数执行5的下文，卡在5的递归2（node.right 指向 null） =>

5的递归2调用，直接return，5右子节点的递归函数出栈 =>

5执行完毕，出栈 =>

执行7的递归2（node.right 指向 9）=>

7的递归2调用，输出9入栈 =>

卡在9的递归1（node.left 指向 null） =>

直接return了，9的左子节点null的递归函数出栈 =>

进入9的递归2，函数执行9的下文，卡在9的递归2（node.right 指向 null） =>

9的递归2调用，直接return，9右子节点的递归函数出栈 =>

9执行完毕，出栈 =>

7执行完毕，出栈 =>

11的递归1执行完毕，进入11的递归2，函数执行11的下文（node.right 指向 15） =>

11的递归2调用，输出15入栈 =>

15的递归1调用，直接return，15左子节点的递归函数出栈 =>

15的递归2调用，直接return，15右子节点的递归函数出栈 =>

11执行完毕，出栈，遍历结束！！！

其实就是一直套娃

下面这个图画的不错

（2）中序遍历

左子树 => 根节点 => 右子树

//3.1中序遍历的递归函数
inOrderRecursion(node) {if(node == null) return false;this.preOrderRecursion(node.left);console.log(node.key);//递归完成后调用的是上一个栈顶函数的下一个过程，所以来到了node.rightthis.preOrderRecursion(node.right);
}
//3.2中序遍历
inOrderTraversal() {this.preOrderRecursion(this.root);
}

（3）后序遍历

左子树 => 右子树 => 根节点

//3.1后序遍历的递归函数
afterOrderRecursion(node) {if(node == null) return false;this.preOrderRecursion(node.left);//递归完成后调用的是上一个栈顶函数的下一个过程，所以来到了node.rightthis.preOrderRecursion(node.right);console.log(node.key);
}
//3.2后序遍历
afterOrderRecursion(node) {this.afterOrderRecursion(this.root);
}

（4）测试代码

测试代码：

//测试代码
let bst = new BinarySearchTree();
bst.insert(11);
bst.insert(7);
bst.insert(15);
bst.insert(5);
bst.insert(9);
console.log(bst);
bst.preOrderTraversal();
console.log('-----------------------------')
bst.inOrderTraversal();
console.log('-----------------------------')
bst.afterOrderTraversal();

结果：
前序遍历：11-7-5-9-15
中序遍历：5-7-9-11-15
后序遍历：5-9-7-15-11

5.最大值和最小值

寻找最大值最小值很简单，最小值在最左边，最大值在最右边，直接循环依次查找就行。

//4.寻找最小值
min() {let current = this.root; while(current != null && current.left != null) {current = current.left;}if(current != null) return current.key;
}//5.寻找最大值
max() {let current = this.root; while(current != null && current.right != null) {current = current.right;}if(current != null) return current.key;
}

6.search查找特定的值

可以用递归实现，也可以用循环实现，循环好理解一些。
1、递归：

2、循环：

//6.寻找特定值(有返回true，没有返回false)
search(key) {let current = this.root;//二分查找原则while(current != null) {if(key < current.key) {//向左查找current = current.left;}else if(key > current.key) {//向右查找current = current.right;}else {return true;}}return false;
}

7.删除某个节点（难上加难）

首先要先找到这个节点，如果没有直接返回false，有的话再说。

（1）找到节点

remove(key) {//一.寻找要删除的节点//1.1定义变量保存父节点和左右子树的标识let current = this.root;let parent = null; //定义节点的父节点let isLeftChild = true; //左右子树的标识if(current == null) return false;//根节点为空直接return//1.2寻找删除的节点while(current.key != key) {parent = current;if(key < current.key) {current = current.left;isLeftChild = true;} else {current = current.right;isLeftChild = false;} }//1.3如果找到最后还是没有，那么就无法删除if(current == null) return false;
}

（2）情况一：删除的节点没有子节点

如果是这种情况，那么要考虑
1、删除的是根节点
2、删除的不是根节点
主要思路：是根节点就置空，不是根节点就根据左右子树的情况把父节点指针置空（这样的话没有被引用的节点会自动被垃圾回收机制回收掉，相当于删除了）

remove(key) {//一.寻找要删除的节点......//二.已经找到，根据不同的情况进行删除//(1)情况一：删除的节点没有子节点if(current.left == null && current.right == null) {//1.如果是根节点if(current == this.root) {this.root = null;}//2.如果不是根节点else if(isLeftChild) {//2.1如果是左子树parent.left = null;} else {//2.2如果是右子树parent.right = null;}}
}

（3）情况二：删除的节点只有一个子节点

这种情况也比较好处理，首先判断删除节点的子节点是左边还是右边，然后分别改变父节点left，right的指向，让它俩指向删除节点的子节点就可以了。

remove(key) {查找......if(current.left == null && current.right == null) {.......}//(2)情况二：删除的节点只有一个子节点//1.如果删除的节点只有左子节点else if(current.right == null) {if(isLeftChild) {//如果删除的节点是父节点的左子节点parent.left = current.left;} else {//如果删除的节点是父节点的右子节点parent.right = current.left;}}//2.如果删除的节点只有右子节点else if(current.left == null) {if(isLeftChild) {//如果删除的节点是父节点的左子节点parent.left = current.right;} else {//如果删除的节点是父节点的右子节点parent.right = current.right;}}
}

但是上面这样少了一种情况，那就是如果删除的节点是根节点呢？这种情况需要加上，如果删除的是根节点，那么需要让root指向根节点的左或右节点

remove(key) {查找......if(current.left == null && current.right == null) {.......}//(2)情况二：删除的节点只有一个子节点//1.如果删除的节点只有左子节点else if(current.right == null) {//别忘了，如果只有一个根节点带一个子节点呢？if(current == this.root) {this.root = current.left;}else if(isLeftChild) {//如果删除的节点是父节点的左子节点parent.left = current.left;} else {//如果删除的节点是父节点的右子节点parent.right = current.left;}}//2.如果删除的节点只有右子节点else if(current.left == null) {if(current == this.root) {this.root = current.right;}else if(isLeftChild) {//如果删除的节点是父节点的左子节点parent.left = current.right;} else {//如果删除的节点是父节点的右子节点parent.right = current.right;}}
}

（4）情况三：删除的节点有两个子节点

这种情况是非常非常非常复杂的。
非常详细的笔记请见大佬的博客：二叉搜索树删除有两个子节点的节点
这里的删除有一定的规律，我就不写探索过程了，直接说规律。

如果要删除的节点有两个子节点，甚至子节点还有子节点，这种情况下需要从要删除节点下面的子节点中找到一个合适的节点，来替换当前的节点。 这个节点最好是：
1、左子树中的最大值
2、右子树中的最小值

在二叉搜索树中，这两个特殊的节点有特殊的名字：

• 比 current 小一点点的节点，称为 current 节点的前驱。（比如下图中的节点 13 就是节点14 的前驱；）

• 比 current 大一点点的节点，称为 current 节点的后继。（比如下图中的节点18 就是节点 14 的后继；）
  

• 查找需要被删除的节点 current 的后继时，需要在 current 的右子树中查找最小值，即在 current 的右子树中一直向左遍历查找；

• 查找前驱时，则需要在 current 的左子树中查找最大值，即在 current 的左子树中一直向右遍历查找。

下面只讨论查找 current 后继的情况，查找前驱的原理相同，这里暂不讨论。

remove(key) {查找......if(current.left == null && current.right == null) {.......}//(2)情况二：删除的节点只有一个子节点//1.如果删除的节点只有左子节点......//2.如果删除的节点只有右子节点......//(3)情况三：删除的节点有两个子节点（复杂）else {//1.找到后继节点let successor = this.getSuccessor(current);//2.处理删除节点的上面（父）节点的指针指向if(current == this.root) {this.root = successor;}else if(isLeftChild) {parent.left = successor;}else {parent.right = successor;}//3.将后继的左子节点改为删除的左子节点successor.left = current.left;}
}

寻找后继节点的函数：

//7.1找到情况三的后继节点（右子树最小值）
getSuccessor(delNode) {//这个函数主要处理的是删除节点下面的节点let successor = delNode;let current = delNode.right;//从右子节点开始查找let successorParent = delNode;while(current != null) {successorParent = successor; //保存后继节点的父节点(原地不动)successor = current; //保存后继节点（向下挪一步）current = current.left; //保存遍历的指针（向左挪一步）}//循环结束，说明找到了右子树的最小值所在节点//此时还要进行判断://1.如果后继节点是第一个右子节点,那么指针的更改去另一个函数中完成//2.如果不是，那么就要改前后节点的指向，这块儿真tm绕if(successor != delNode.right) {successorParent.left = successor.right; //后继节点只可能有右子节点successor.right = delNode.right;}return successor;
}

这里实在是太难了，看着代码画画图就能理解了。。。