游戏中的随机——“动态平衡概率”算法

前言

众所周知计算机模拟的随机是伪随机，但在结果看来依然和现实中的随机差别不大。
例如掷硬币，连续掷很多很多次之后，总有连续七八十来次同一个面朝上的情况出现，计算机中一般的随机函数也能很好模拟这一点。

但在游戏中，假如有一个50%概率会出现的情况，经常连续七八十来次不出现，这样其实非常影响游戏体验。

那么为了增加这部分游戏体验，我们如何避免上述情况发生，使某个概率能在总体上较为均匀地分布呢？

例如现在有这样的需求：

A. 暴击率总体为20%
B. 要求每十次攻击，至少有一次暴击
C. 要求暴击的总体分布较为均匀

算法预览

经过一段时间的深思熟虑，笔者终于构建了一种名为“动态平衡概率”的算法。
虽然它还有一些局限性，但已经达到了基本可用的状态。

先上代码，为了方便演示图表，这里就用 python 了：

import matplotlib.pyplot as plt
import random# 初始化变量
InitCritPercent = 0.2       # 初始暴击率
dynamicCritPercent = 0.2    # 动态暴击率
currentCritPercent = 0      # 当前暴击概率
deltaCritPercent = 0        # 当前暴击率与初始暴击率的差值（用来表示变化）
attackTotalCount = 0        # 总攻击次数
critTotalCount = 0          # 总暴击次数
noCritStreakCount = 0       # 连续未暴击次数# 给 plot 准备的列表
currentCritPercentList = []
deltaCritPercentList = []
dynamicCritPercentList = []
noCritStreakCountList = []
isCriticalList = []# 获取最佳的 N
def find_optimal_N(p):one_minus_p = 1 - pfor i in range(1, 501):if one_minus_p ** i <= 0.05:return ireturn 500  # 如果未找到合适的 N，则默认返回 500# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 核心代码 ↓attackTotalCount += 1isCritical = False# 检查当前攻击数是否大于 0if attackTotalCount > 0:# 计算当前暴击概率currentCritPercent = critTotalCount / attackTotalCount# 计算当前暴击概率与初始暴击率的差值deltaCritPercent = abs(InitCritPercent - currentCritPercent)# 计算动态暴击率dynamicCritPercent = (attackTotalCount * (InitCritPercent - currentCritPercent) + currentCritPercent) * pow(deltaCritPercent, 0.5)# 检查是否连续 N - 1 次未暴击if noCritStreakCount < find_optimal_N(InitCritPercent) - 1:percent = random.random()if percent <= dynamicCritPercent:isCritical = TruenoCritStreakCount = 0else:noCritStreakCount += 1else:isCritical = TruenoCritStreakCount = 0if isCritical:critTotalCount += 1# 核心代码 ↑# 将数据添加到列表中currentCritPercentList.append(currentCritPercent)deltaCritPercentList.append(deltaCritPercent)dynamicCritPercentList.append(dynamicCritPercent)noCritStreakCountList.append(noCritStreakCount)isCriticalList.append(int(isCritical))# 创建多表格
fig, axs = plt.subplots(2)# 每 100 条数据标注一下
for i in range(0, len(currentCritPercentList), 100):axs[0].annotate(f"{currentCritPercentList[i]:.3f}", (i, currentCritPercentList[i]))# 画出暴击概率数据表格
axs[0].plot(currentCritPercentList, label='Current Crit Percent', color='r')
axs[0].plot(deltaCritPercentList, label='Delta Crit Percent', color='g')
axs[0].plot(dynamicCritPercentList, label='Dynamic Crit Percent', color='b')
axs[0].set_xlabel('Total Attacks')
axs[0].set_ylabel('Probability')
axs[0].legend()# 画出连续未暴击次数的表格
axs[1].plot(noCritStreakCountList, label='No-Crit Streak', color='m')
axs[1].plot(isCriticalList, label='Is Critical', color='c')
axs[1].set_xlabel('Total Attacks')
axs[1].set_ylabel('No-Crit Streak / Is Critical')
axs[1].legend()plt.show()

给定参数的运行结果如下图所示（这里的“要求N次攻击，至少有一次暴击”中的N，根据算法取了14）

0 ~ 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

可以看出，总体暴击率会在大概300次内稳定下来，并且逐渐逼近 0.2；
在攻击次数足够多时，“动态暴击率”的浮动也会趋于稳定。

这是一种通过调整每次攻击的暴击率，来达到动态平衡效果的算法；
也可以说，这是一种动态调整每次概率，以达到目标数学期望的算法。

核心思路

以“暴击率”为例，以下是这种“动态平衡概率”算法的核心思路：

基本参数：
$$\begin{array}{rl}\text{初始概率（目标概率）}& ：P\\ \text{动态概率}& ：dynamicP\\ \text{当前概率}& ：currentP\\ \text{概率差值}& ：deltaP\\ \text{攻击次数}& ：attackN\\ \text{暴击次数}& ：critN\\ \text{连续未暴击次数}& ：noCritStreak\end{array}$$

核心运算逻辑：
$$\begin{array}{rl}currentP& =\frac{critN}{attackN}\\ deltaP& =|P-currentP|\\ dynamicP& =\left(attackN\cdot (P-currentP)+currentP\right)\cdot \sqrt{deltaP}\end{array}$$

暴击判断逻辑：
$$\begin{array}{rl}& \\ \text{找到一个最佳的N，}& \\ \text{用于判断连续 N - 1 次未暴击}& :\\ \text{Find\_Optimal\_N}(p)& :(1-p{)}^N\le 0.05\\ & \\ \text{随机数生成和暴击判断}& :\\ & \text{如果 noCritStreak <N−1，则生成一个随机数 percent；}\\ & \text{ ﹂如果 percent ≤ dynamicP，则判定为暴击，相关参数 + 1}\\ & \text{ ﹂否则 未暴击，相关参数 + 1}\\ & \text{否则 必然暴击，相关参数 + 1}\end{array}$$

本文到这里其实就结束了，这套算法虽然简单，但是笔者发现它的过程还是挺有意思的。
感兴趣的朋友可以继续往下看，文末还有一些优化思路…

发现

还是前文中的需求：

A. 暴击率总体为20%
B. 要求每十次攻击，至少有一次暴击
C. 要求暴击的总体分布较为均匀

假如每次暴击的概率都是0.2，并且每十次攻击至少一次暴击，这样相当于增加了总体最终的暴击数，也就是变相增加了暴击率，确实需要通过某种方式将最终结果调整到0.2.

目前笔者想到的实现方式大致分为两种：

一种是“动态概率”，我们可以随着实际已出现的概率，动态地调整下一次的概率，并保证在最终结果上符合我们的目标概率。
另一种是提前将“随机种子”做好。在制作“种子”时使用连续分段的、适当长度的数组，每段数组中目标出现的概率基本相同，且总体概率符合我们的目标概率。再人为打乱每段数组，最后将他们拼接起来。但是这种方式还有个问题，就是打乱数组之后可能会出现两个数组中的一个暴击在头一个在尾，两次暴击又会间隔较远的情况，无法完全保证 B 条件成立。

本文先尝试第一种方式————“动态概率”

以前面的需求为例，假如每次暴击的概率都是0.2，并且每十次攻击至少一次暴击，先这样在Unity中看一下最终的暴击率会高出多少

using UnityEngine;public class CriticalHit : MonoBehaviour
{// 初始暴击率public float InitCritPercent = 0.2f;// 当前暴击概率private float currentCritPercent;// 当前总攻击次数private int attackTotalCount = 0;// 当前总暴击过的次数private int critTotalCount = 0;// 连续未出现暴击的次数private int noCritStreakCount = 0;private void Start(){currentCritPercent = InitCritPercent;}private void Update(){// 监听鼠标左键输入if (Input.GetMouseButtonDown(0)){// 测试一次PerformAttack();Debug.Log("当前暴击率：" + currentCritPercent);}if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space)){// 测试一万次for (int i = 0; i < 10000; i++) PerformAttack();}}private void PerformAttack(){attackTotalCount++;bool isCritical = false;if (attackTotalCount > 0){// 计算当前暴击概率 = 总暴击数 / 总攻击数currentCritPercent = (float)critTotalCount / attackTotalCount;}// 检查是否需要强制暴击if (noCritStreakCount < 9){float percent = Random.Range(0f, 1f);if (percent < InitCritPercent){isCritical = true;noCritStreakCount = 0; // 重置计数器}else{noCritStreakCount++;}}else{isCritical = true;noCritStreakCount = 0; // 重置计数器}if (isCritical) critTotalCount++;// 执行攻击，如果 isCritical 为 true，则为暴击if (isCritical)Debug.Log("Critical Hit!");elseDebug.Log("Normal Hit.");}
}

将这个脚本挂到场景中的空物体上，运行游戏，然后按空格键先测试一万次，再点击鼠标左键显示当前的暴击率
用上述方式测试几次，会发现最终的暴击率大概在 22.5% 左右，打印结果如下图所示

那么这多出来的 2.5% 为什么会是 2.5% 呢，它具体是怎么来的呢，如何避免它产生呢？

带着这样的疑惑，笔者开始尝试进行分析…

排除误差的可能

首先我们要排除这 2.5% 是误差的可能。

假设暴击率为 0.2，不考虑其他的设定和限制，每次测试十万次、共测试三次。
那么正常情况下的输出结果如下图所示


误差在 0.2% 左右，这与 2.5% 差别还是很大的，所以基本排除这是误差导致的情况。

探索

为了进一步优化算法，笔者决定结合已有的数据和个人直觉进行改进。

笔者用Python重新编写了一版代码，这样我们不仅可以方便地输出图表进行可视化分析，还能在这个基础上进行后续的代码修改和优化。

import matplotlib.pyplot as plt
import random# 初始化变量
InitCritPercent = 0.2   # 初始暴击率
attackTotalCount = 0    # 总攻击次数
critTotalCount = 0      # 总暴击次数
noCritStreakCount = 0   # 连续未暴击次数# 给 plot 准备的列表
currentCritPercentList = []
noCritStreakCountList = []
isCriticalList = []# 测试 10000 次
for i in range(10000):attackTotalCount += 1isCritical = False# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount < 9:percent = random.random()if percent <= InitCritPercent:isCritical = TruenoCritStreakCount = 0else:noCritStreakCount += 1else:isCritical = TruenoCritStreakCount = 0if isCritical:critTotalCount += 1# 计算当前暴击概率currentCritPercent = critTotalCount / attackTotalCount# 添加数据到列表中currentCritPercentList.append(currentCritPercent)noCritStreakCountList.append(noCritStreakCount)isCriticalList.append(int(isCritical))# 创建多表格
fig, axs = plt.subplots(2)# 画出暴击概率数据表格
axs[0].plot(currentCritPercentList, label='Current Crit Percent', color='r')
axs[0].set_xlabel('Total Attacks')
axs[0].set_ylabel('Probability')
axs[0].legend()# 每 100 条数据标注一下
for i in range(0, len(currentCritPercentList), 100):axs[0].annotate(f"{currentCritPercentList[i]:.5f}", (i, currentCritPercentList[i]))# 画出连续未暴击次数的表格
axs[1].plot(noCritStreakCountList, label='No-Crit Streak', color='m')
axs[1].plot(isCriticalList, label='Is Critical', color='c')
axs[1].set_xlabel('Total Attacks')
axs[1].set_ylabel('No-Crit Streak / Is Critical')
axs[1].legend()plt.show()

从输出的图表中不难看出，整体的暴击率确实变高了，如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

如要将最终的暴击概率调整回 0.2，那就应该降低“当前暴击概率”，将 B 条件所增加的那部分修正回来。

“递增修正”

将前文的python代码添加几个变量，用来检测当前暴击概率的变化，当前暴击概率高于初始暴击率的时候，就降低动态暴击率，直到将当前暴击率拉回到正常水平；反之亦然。

import matplotlib.pyplot as plt
import random# 初始化变量
InitCritPercent = 0.2       # 初始暴击率
currentCritPercent = 0      # 当前暴击概率
deltaCritPercent = 0        # 当前暴击率与初始暴击率的差值（用来表示变化）
dynamicCritPercent = 0.2    # 动态暴击率
attackTotalCount = 0        # 总攻击次数
critTotalCount = 0          # 总暴击次数
noCritStreakCount = 0       # 连续未暴击次数# 给 plot 准备的列表
currentCritPercentList = []
deltaCritPercentList = []
dynamicCritPercentList = []
noCritStreakCountList = []
isCriticalList = []# 测试 10000 次
for i in range(10000):attackTotalCount += 1isCritical = False# 检查是否连续 9 次未暴击if attackTotalCount > 0:# 计算当前暴击概率currentCritPercent = critTotalCount / attackTotalCount# 计算当前暴击概率与初始暴击率的差值deltaCritPercent = abs(InitCritPercent - currentCritPercent)# 计算动态暴击率if(currentCritPercent > InitCritPercent):dynamicCritPercent -= deltaCritPercentif(currentCritPercent < InitCritPercent):dynamicCritPercent += deltaCritPercent# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount < 9:percent = random.random()if percent <= dynamicCritPercent:isCritical = TruenoCritStreakCount = 0else:noCritStreakCount += 1else:isCritical = TruenoCritStreakCount = 0if isCritical:critTotalCount += 1# 将数据添加到列表中currentCritPercentList.append(currentCritPercent)deltaCritPercentList.append(deltaCritPercent)dynamicCritPercentList.append(dynamicCritPercent)noCritStreakCountList.append(noCritStreakCount)isCriticalList.append(int(isCritical))# 创建多表格
fig, axs = plt.subplots(2)# 每 100 条数据标注一下
for i in range(0, len(currentCritPercentList), 100):axs[0].annotate(f"{currentCritPercentList[i]:.3f}", (i, currentCritPercentList[i]))# 画出暴击概率数据表格
axs[0].plot(currentCritPercentList, label='Current Crit Percent', color='r')
axs[0].plot(deltaCritPercentList, label='Delta Crit Percent', color='g')
axs[0].plot(dynamicCritPercentList, label='Dynamic Crit Percent', color='b')
axs[0].set_xlabel('Total Attacks')
axs[0].set_ylabel('Probability')
axs[0].legend()# 画出连续未暴击次数的表格
axs[1].plot(noCritStreakCountList, label='No-Crit Streak', color='m')
axs[1].plot(isCriticalList, label='Is Critical', color='c')
axs[1].set_xlabel('Total Attacks')
axs[1].set_ylabel('No-Crit Streak / Is Critical')
axs[1].legend()plt.show()

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

可以明显看出动态暴击率在大幅度地反复震荡，并且明显超出了 (0, 1) 的区间；
在震荡的高点时，会出现连续暴击的情况；在震荡的低点时，会出现连续地触发“保底”暴击；
这样虽然能将总体暴击概率稳定在 0.2 左右，但这显然不满足条件 C。

“递增修正”优化

显而易见，当动态暴击率超出 (0, 1) 区间时，就和 0、1 没有区别了
所以可以为它加个简单限幅，例如笔者将动态暴击率的幅度限制在（0.5倍初始暴击率，2倍初始暴击率）之间

# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码if attackTotalCount > 0:# 同上文代码# 计算动态暴击率if(currentCritPercent > InitCritPercent):dynamicCritPercent = min(max(dynamicCritPercent - deltaCritPercent, InitCritPercent * 0.5), InitCritPercent * 2)if(currentCritPercent < InitCritPercent):dynamicCritPercent = min(max(dynamicCritPercent + deltaCritPercent, InitCritPercent * 0.5), InitCritPercent * 2)# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount < 9:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

现在的算法已经基本可用了，但还需要多尝试才能找到合适的限幅范围。
当限幅范围过大时，概率的分布会变得不均匀；
限幅范围过小时，又会出现无法逼近目标概率（初始暴击率），比较麻烦。

“递增修正”测试

将上述优化过的算法应用到其他情景中，例如掷硬币，每5次投掷至少有一次正面
初始概率（目标概率） = 0.5

# 同上文代码
InitCritPercent = 0.5
dynamicCritPercent = 0.5
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码# 检查是否连续 4 次未掷出正面if noCritStreakCount < 4:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

可以发现出现连续未正面的次数（连续未暴击次数），又在动态概率的波谷处出现“聚拢”现象，这很好理解：因为我们的限幅有些过大了。
总结下来，这种手动限定幅度的方式效率很低还容易出问题…

那么能不能让它根据自身目前状况，如目标概率、总攻击次数等参数，来动态调整 动态暴击率的增量呢？

“镜像修正”

基于以上思考，笔者希望每次攻击的“动态暴击率”是上次“当前暴击概率”关于“初始暴击率”的镜像，通过这种有针对性的“反向”操作，来将最终暴击率逼近目标值。
于是便有如下代码：

# 初始化变量
InitCritPercent = 0.2       # 初始暴击率
dynamicCritPercent = 0.2    # 动态暴击率
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码if attackTotalCount > 0:# 同上文代码# 计算动态暴击率dynamicCritPercent = attackTotalCount * InitCritPercent - (attackTotalCount - 1) * currentCritPercent# 检查是否连续 9 次未暴击if noCritStreakCount < 9:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

虽然能将最终的暴击概率稳定在 0.2，但结果过于平均了！
可以说这种“修正”的操作过于灵敏，导致暴击的分布非常均匀，甚至没有出现连续 9 次以上的未暴击。但这仍不是我们想要的，需要继续优化。

“镜像修正”优化

笔者发现，这种“过于均匀”的分布情况也是因为每次修正幅度过大导致的。
现在要调整这个幅度会比“递增修正”的方法容易很多，只需要让“计算动态暴击率”的结果乘以一个较小的系数即可。

这个系数需要与当前的状态有关，并且是一个越来越小的值。
而在攻击次数越来越多时，currentCritPercent 也会越来越逼近 InitCritPercent 的值，所以 deltaCritPercent 会随着攻击次数的增多越来越小；
（又因为 currentCritPercent 趋向于一个比 InitCritPercent 偏大的值，那么 deltaCritPercent 也会永不为 0）
这里我们就用 deltaCritPercent 来作为系数，目前来看刚好合适。

# 同上文代码# 计算动态暴击率dynamicCritPercent = (attackTotalCount * (InitCritPercent - currentCritPercent) + currentCritPercent) * deltaCritPercent# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

由于对每次的 dynamicCritPercent 的幅度都做了差不多的限制，可以看到图二中，在前 1000 次左右攻击时，currentCritPercent 逼近目标值的速度很慢。
啧，还差一点…

继续优化！既然 deltaCritPercent 会随着攻击次数增多变得越来越小，那么我们不妨直接将它放大。

# 同上文代码# 计算动态暴击率dynamicCritPercent = (attackTotalCount * (InitCritPercent - currentCritPercent) + currentCritPercent) * pow(deltaCritPercent, 0.5)# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

以上结果已经基本符合预期。

“镜像修正”测试

掷硬币

下面还是用硬币的例子：掷硬币，每5次投掷至少有一次正面
初始概率（目标概率） = 0.5

# 同上文代码
InitCritPercent = 0.5
dynamicCritPercent = 0.5
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码# 检查是否连续 4 次未掷出正面if noCritStreakCount < 4:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

也基本符合预期。

掷骰子

再以掷骰子为例：每掷出 15 次至少有一次是 点数 1。

# 同上文代码
InitCritPercent = 0.166667
dynamicCritPercent = 0.166667
# 同上文代码# 测试 10000 次
for i in range(10000):# 同上文代码# 检查是否连续 14 次未掷出正面if noCritStreakCount < 14:# 同上文代码# 同上文代码# 同上文代码

输出结果如下图所示

前 2000 次 如下

8000 ~ 10000 次 如下

稳定发挥。

优化

目前“镜像修正”算法已经基本可用了，但是虽然叫“镜像”，却已经没有了镜像当初的样子。

不如就直接改名叫“动态平衡概率”算法好了…

算法优化

细心的朋友应该会发现，这套算法在一开始的概率会低于目标概率一些，并且逼近的速度还是慢了些。后期稳定性也没有想象中的高。

笔者目前能想到的继续优化的方式有三种：

1.分段修改 deltaCritPercent 的开根，类似LOD模型替换的感觉；
2.用 log 函数做系数，然后当次数达到一定值时直接 * deltaCritPercent 就可以了；
3.按目标概率的比例，给“总攻击次数”和“总暴击次数”设置较大的初始值。这样不用给 deltaCritPercent 开平方，就能得到一个较为满意的结果，也会相对高效一些。

笔者还没来得及测试性能，如果后续有相关优化会修改本文章，或者发一篇新文章。

关于判断次数

我们感觉到的小概率事件发生的概率通常在 5% 或 1% 以下，通过这两个标准，我们可以很轻松地得出“目标概率为 X 时，操作 N 次至少出现一次目标事件”中的N：

def find_optimal_N(p):# 从 1 到 500for i in range(1, 501):if(1 - p) ** i <= 0.05:return iprint(find_optimal_N(0.2))
print(find_optimal_N(0.5))
print(find_optimal_N(0.166667))# 输出结果为：
# 14
# 5
# 17

所以当目标概率为 0.2、0.5、0.166667 时，N 比较合适的值为 14、5、17。
当目标概率小于 0.05 时，可以让if(1 - p) ** i <= 0.01:，或者更小。

结语

虽然本算法目前还有待优化，但已经足够应对一些游戏场景。
关于那多出的2.5%的问题，笔者会继续探索，直到找到满意的答案。

如果这篇文章能为你解决问题或带来新的启发，那我会感到非常荣幸！

对于已经在这个领域有丰富经验的大佬们，非常欢迎你们的建议或批评。这不仅能帮助我改进，也能让这篇文章更加完善，从而帮助到更多的人。

感谢你抽出宝贵的时间来阅读这篇文章，如果你觉得有用，也请不吝分享给更多需要的人。

再次感谢，期待我们在知识的海洋里再次相遇！