自动驾驶算法（一）：Dijkstra算法讲解与代码实现

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0 本节关键词：栅格地图、算法、路径规划

1 Dijkstra算法详解

2 Dijkstra代码详解

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0 本节关键词：栅格地图、算法、路径规划

1 Dijkstra算法详解

        用于图中寻找最短路径。节点是地点，边是权重。

        从起点开始逐步扩展，每一步为一个节点找到最短路径：

        While True:
                1.从未访问的节点选择距离最小的节点收录（贪心思想）
                2.收录节点后遍历该节点的邻接节点,更新距离

        我们举例子说明一下，在机器人路径规划中，通常用open list、closed list表达：

        open list 表示从该节点到起点已经有路径的节点

        closed list 表示已经找到最短路径的节点

        Step1：从起点开始，将起点放入open list中，选择距离最短的节点进行收录。

open list    1(0)(min)
closed list|
|open list    
closed list  1(0)

        Step2：遍历1号节点的邻接节点（4、2号节点）

open list    2(2)(1-->2) 4(1)(1-->4)(min)
closed list  1(0)|
|open list    2(2)(1-->2)
closed list  1(0)  4(1)(1-->4)

        4号节点收录后我们需要对其邻接节点更新距离。（3、6、7号节点）

        Step3：3号节点我们找到1->4->3路径，6号节点我们找到1->4->6路径，7号节点我们找到1->4->7路径。

open list    2(2)(1-->2)(min) 3(3)(1-->4-->3) 6(9)(1-->4-->6) 7(5)(1-->4-->7)
closed list  1(0)|
|open list    3(3)(1-->4-->3) 6(9)(1-->4-->6) 7(5)(1-->4-->7)
closed list  1(0)  4(1)(1-->4) 2(2)(1-->2)

        Step4：遍历2的邻接节点，我们发现4号节点已经在close list中（不需要被更新），我们更新5号节点。

open list    3(3)(1-->4-->3)(min) 6(9)(1-->4-->6) 7(5)(1-->4-->7) 5(13)(1->2-->5)
closed list  1(0)|
|open list    6(9)(1-->4-->6) 7(5)(1-->4-->7) 5(13)(1->2-->5)
closed list  1(0)  4(1)(1-->4) 2(2)(1-->2) 3(3)(1-->4-->3)

        Step5：遍历3的邻接节点，（3-->1无需更新，更新3-->6  1436(8) (因为我们有到3的最短距离)）,而我们已经为6号节点找到路径6(9)(146)，更新6号节点的路径。

open list    6(9)(1-->4-->6)(1->4->3-->6 7) 7(5)(1-->4-->7)(min) 5(13)(1->2-->5)
closed list  1(0)  4(1)(1-->4) 2(2)(1-->2) 3(3)(1-->4-->3)|
|open list    6(8)(1->4->3-->6) 5(13)(1->2-->5)
closed list  1(0)  4(1)(1-->4) 2(2)(1-->2) 3(3)(1-->4-->3) 7(5)(1-->4-->7)

        Step6：遍历7的邻接节点(6号节点)（1 4 7 6 = 6）比之前的8小，对6号距离再次更新。

open list    6(8)(1->4->3-->6)(1->4->7-->6 6)(min)  5(13)(1->2-->5) 
closed list  1(0)  4(1)(1-->4) 2(2)(1-->2) 3(3)(1-->4-->3) 7(5)(1-->4-->7) |
|open list    5(13)(1->2-->5) 
closed list  1(0)  4(1)(1-->4) 2(2)(1-->2) 3(3)(1-->4-->3) 7(5)(1-->4-->7)  6(6)(1-->4-->7-->6)

        Step7：遍历6的邻接节点(6号节点)结束

        栅格地图初介绍：

        假设图中灰色的是障碍物，红色的是机器人。在避障时，我们的常用做法是通过膨胀障碍物，将机器人视为质点来规划路径，然后对地图进行栅格化，将地图弄成一块一块的。最后将栅格地图转化为有权地图。我们可以把栅格地图的每个栅格看作是有权图的节点，机器人的运动范围可以看作是有权图的节点和节点之间的连接。

2 Dijkstra代码详解

        这里我们先配置下代码环境，最好是在python3.9下，我们创建conda虚拟环境：

conda create -n nav python=3.9

        安装所需库：

pip install numpy scipy matplotlib pandas cvxpy pytest -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple

        我们的代码如下：

"""Grid based Dijkstra planningauthor: Atsushi Sakai(@Atsushi_twi)"""import matplotlib.pyplot as plt
import mathshow_animation = Trueclass Dijkstra:def __init__(self, ox, oy, resolution, robot_radius):"""Initialize map for planningox: x position list of Obstacles [m]oy: y position list of Obstacles [m]resolution: grid resolution [m]rr: robot radius[m]"""self.min_x = Noneself.min_y = Noneself.max_x = Noneself.max_y = Noneself.x_width = Noneself.y_width = Noneself.obstacle_map = Noneself.resolution = resolutionself.robot_radius = robot_radiusself.calc_obstacle_map(ox, oy)self.motion = self.get_motion_model()class Node:def __init__(self, x, y, cost, parent_index):self.x = x  # index of gridself.y = y  # index of gridself.cost = cost  # g(n)self.parent_index = parent_index  # index of previous Nodedef __str__(self):return str(self.x) + "," + str(self.y) + "," + str(self.cost) + "," + str(self.parent_index)def planning(self, sx, sy, gx, gy):"""dijkstra path searchinput:s_x: start x position [m]s_y: start y position [m]gx: goal x position [m]gx: goal x position [m]output:rx: x position list of the final pathry: y position list of the final path"""start_node = self.Node(self.calc_xy_index(sx, self.min_x),self.calc_xy_index(sy, self.min_y), 0.0, -1)   # round((position - minp) / self.resolution)goal_node = self.Node(self.calc_xy_index(gx, self.min_x),self.calc_xy_index(gy, self.min_y), 0.0, -1)open_set, closed_set = dict(), dict()     # key - value: hash表open_set[self.calc_index(start_node)] = start_nodewhile 1:c_id = min(open_set, key=lambda o: open_set[o].cost)  # 取cost最小的节点current = open_set[c_id]# show graphif show_animation:  # pragma: no coverplt.plot(self.calc_position(current.x, self.min_x),self.calc_position(current.y, self.min_y), "xc")# for stopping simulation with the esc key.plt.gcf().canvas.mpl_connect('key_release_event',lambda event: [exit(0) if event.key == 'escape' else None])if len(closed_set.keys()) % 10 == 0:plt.pause(0.001)# 判断是否是终点if current.x == goal_node.x and current.y == goal_node.y:print("Find goal")goal_node.parent_index = current.parent_indexgoal_node.cost = current.costbreak# Remove the item from the open setdel open_set[c_id]# Add it to the closed setclosed_set[c_id] = current# expand search grid based on motion modelfor move_x, move_y, move_cost in self.motion:node = self.Node(current.x + move_x,current.y + move_y,current.cost + move_cost, c_id)n_id = self.calc_index(node)if n_id in closed_set:continueif not self.verify_node(node):continueif n_id not in open_set:open_set[n_id] = node  # Discover a new nodeelse:if open_set[n_id].cost >= node.cost:# This path is the best until now. record it!open_set[n_id] = noderx, ry = self.calc_final_path(goal_node, closed_set)return rx, rydef calc_final_path(self, goal_node, closed_set):# generate final courserx, ry = [self.calc_position(goal_node.x, self.min_x)], [self.calc_position(goal_node.y, self.min_y)]parent_index = goal_node.parent_indexwhile parent_index != -1:n = closed_set[parent_index]rx.append(self.calc_position(n.x, self.min_x))ry.append(self.calc_position(n.y, self.min_y))parent_index = n.parent_indexreturn rx, rydef calc_position(self, index, minp):pos = index * self.resolution + minpreturn posdef calc_xy_index(self, position, minp):return round((position - minp) / self.resolution)def calc_index(self, node):return node.y * self.x_width + node.xdef verify_node(self, node):px = self.calc_position(node.x, self.min_x)py = self.calc_position(node.y, self.min_y)if px < self.min_x:return Falseif py < self.min_y:return Falseif px >= self.max_x:return Falseif py >= self.max_y:return Falseif self.obstacle_map[node.x][node.y]:return Falsereturn Truedef calc_obstacle_map(self, ox, oy):''' 第1步：构建栅格地图 '''self.min_x = round(min(ox))self.min_y = round(min(oy))self.max_x = round(max(ox))self.max_y = round(max(oy))print("min_x:", self.min_x)print("min_y:", self.min_y)print("max_x:", self.max_x)print("max_y:", self.max_y)self.x_width = round((self.max_x - self.min_x) / self.resolution)self.y_width = round((self.max_y - self.min_y) / self.resolution)print("x_width:", self.x_width)print("y_width:", self.y_width)# obstacle map generation# 初始化地图self.obstacle_map = [[False for _ in range(self.y_width)]for _ in range(self.x_width)]# 设置障碍物for ix in range(self.x_width):x = self.calc_position(ix, self.min_x)for iy in range(self.y_width):y = self.calc_position(iy, self.min_y)for iox, ioy in zip(ox, oy):d = math.hypot(iox - x, ioy - y)if d <= self.robot_radius:self.obstacle_map[ix][iy] = Truebreak@staticmethoddef get_motion_model():# dx, dy, costmotion = [[1, 0, 1],[0, 1, 1],[-1, 0, 1],[0, -1, 1],[-1, -1, math.sqrt(2)],[-1, 1, math.sqrt(2)],[1, -1, math.sqrt(2)],[1, 1, math.sqrt(2)]]return motiondef main():# start and goal positionsx = -5.0  # [m]sy = -5.0  # [m]gx = 50.0  # [m]gy = 50.0  # [m]grid_size = 2.0  # [m]robot_radius = 1.0  # [m]# set obstacle positionsox, oy = [], []for i in range(-10, 60):ox.append(i)oy.append(-10.0)for i in range(-10, 60):ox.append(60.0)oy.append(i)for i in range(-10, 61):ox.append(i)oy.append(60.0)for i in range(-10, 61):ox.append(-10.0)oy.append(i)for i in range(-10, 40):ox.append(20.0)oy.append(i)for i in range(0, 40):ox.append(40.0)oy.append(60.0 - i)if show_animation:  # pragma: no coverplt.plot(ox, oy, ".k")plt.plot(sx, sy, "og")plt.plot(gx, gy, "xb")plt.grid(True)plt.axis("equal")dijkstra = Dijkstra(ox, oy, grid_size, robot_radius)rx, ry = dijkstra.planning(sx, sy, gx, gy)if show_animation:  # pragma: no coverplt.plot(rx, ry, "-r")plt.pause(0.01)plt.show()if __name__ == '__main__':main()

        先执行一下看看效果：

        我们现在来详解一下：

        我们从main函数开始：

    # 1. 设置起点和终点sx = -5.0  # [m]sy = -5.0  # [m]gx = 50.0  # [m]gy = 50.0  # [m]# 2. 设置珊格的大小和机器人的半径grid_size = 2.0  # [m]robot_radius = 1.0  # [m]# 3. 设置障碍物的位置（图中的黑点就是）ox, oy = [], []# 3.1 设置外围的四堵墙  (-10,-10)  --> (60,-10) 最下面的一条线for i in range(-10, 60):ox.append(i)oy.append(-10.0)# 3.1 设置外围的四堵墙  (60,-10)  -->  (60,60)  最右面的一条线for i in range(-10, 60):ox.append(60.0)oy.append(i)# 3.1 设置外围的四堵墙  (-10,60)  -->  (61,60)  最上面的一条线for i in range(-10, 61):ox.append(i)oy.append(60.0)# 3.1 设置外围的四堵墙  (-10,-10)  -->  (-10,61) 最左面的一条线for i in range(-10, 61):ox.append(-10.0)oy.append(i)# 3.2 障碍物for i in range(-10, 40):ox.append(20.0)oy.append(i)for i in range(0, 40):ox.append(40.0)oy.append(60.0 - i)# 4 画图 起点、终点、障碍物都画出来if show_animation:  # pragma: no coverplt.plot(ox, oy, ".k")plt.plot(sx, sy, "og")plt.plot(gx, gy, "xb")plt.grid(True)plt.axis("equal")

        这段代码就设置了边框和障碍物区域并把他们可视化了：

        就是我图中画的区域。

    #生成了Dijkstra的对象 调用其中的方法（障碍物信息、珊格大小、机器人半径）dijkstra = Dijkstra(ox, oy, grid_size, robot_radius)

        生成了Dijkstra的对象。我们来看这个类的构造函数，进入一个类首先执行构造函数：

    def __init__(self, ox, oy, resolution, robot_radius):"""Initialize map for planningox: x position list of Obstacles [m]oy: y position list of Obstacles [m]resolution: grid resolution [m]rr: robot radius[m]"""self.min_x = Noneself.min_y = Noneself.max_x = Noneself.max_y = Noneself.x_width = Noneself.y_width = Noneself.obstacle_map = None# 珊格大小self.resolution = resolution# 机器人半径self.robot_radius = robot_radius# 构建珊格地图self.calc_obstacle_map(ox, oy)self.motion = self.get_motion_model()

        我们先来看是怎么创建珊格地图的：

    def calc_obstacle_map(self, ox, oy):''' 第1步：构建栅格地图 '''# 1. 获得地图的边界值self.min_x = round(min(ox))self.min_y = round(min(oy))self.max_x = round(max(ox))self.max_y = round(max(oy))print("min_x:", self.min_x)print("min_y:", self.min_y)print("max_x:", self.max_x)print("max_y:", self.max_y)# 2.计算x、y方向珊格个数self.x_width = round((self.max_x - self.min_x) / self.resolution)self.y_width = round((self.max_y - self.min_y) / self.resolution)print("x_width:", self.x_width)print("y_width:", self.y_width)# obstacle map generation# 3.初始化地图 都设置为false 表示还没有设置障碍物self.obstacle_map = [[False for _ in range(self.y_width)]for _ in range(self.x_width)]# 4.设置障碍物 遍历每一个栅格for ix in range(self.x_width):# 通过下标计算珊格位置x = self.calc_position(ix, self.min_x)for iy in range(self.y_width):y = self.calc_position(iy, self.min_y)# 遍历障碍物for iox, ioy in zip(ox, oy):# 计算障碍物到珊格的距离d = math.hypot(iox - x, ioy - y)# 膨胀障碍物 如果距离比机器人半径小 机器人不能通行if d <= self.robot_radius:# 设置为trueself.obstacle_map[ix][iy] = Truebreak

        首先我们获得了地图的边界值，算出了每一个方向上有多少珊格数量。

        比如我们的长是100m（self.max_x - self.min_x = 100），珊格大小为3，那么我们每一行不就是有33个珊格啦～。

        我们初始化obstacle_map，这个大小为珊格长 * 珊格宽的大小，我们将他们初始化为false表示这个地方没有障碍物。

        然后我们遍历每一个珊格for ix in range(self.x_width)、for iy in range(self.y_width)。我们来看看calc_position这个方法做了什么。

    def calc_position(self, index, minp):pos = index * self.resolution + minpreturn pos

        其实就计算了珊格所在位置的真实(x,y)坐标，比如我们的self.minx = 10，ix = 0，那么他的pos = 0 * 2 + 10 = 10，比如我们的self.minx = 10，ix = 1，那么他的pos = 1 * 2 + 10 = 12。我们遍历所有障碍物体的坐标，计算障碍物体（真实坐标）与这个机器人的距离，如果这个距离比机器人自身的大小小的话，我们将这个地方的珊格标志置为false表示有东西。

        那么，在完成这个函数calc_obstacle_map时候，我们有了一张珊格地图，里面充斥着false和true，如果为true的话，那么机器人是过不去的，这块也就是设置成了障碍物区域。

        我们接着往下看构造函数：

        self.calc_obstacle_map(ox, oy)self.motion = self.get_motion_model()

         self.motion = self.get_motion_model()这段代码建立了机器人的运动模型和运动代价：

    def get_motion_model():# dx, dy, costmotion = [[1, 0, 1],                    #x增加1,y不变 代价为1[0, 1, 1],[-1, 0, 1],[0, -1, 1],[-1, -1, math.sqrt(2)],[-1, 1, math.sqrt(2)],[1, -1, math.sqrt(2)],[1, 1, math.sqrt(2)]]return motion

        这里也就是机器人向左走(x+1,y+0)代价为1，斜着走代价为根号2。到此为止，我们构造函数讲解完了。我们返回主函数。

open_set

        这里开始正式进入路径规划了。传入的参数为起点坐标和终点坐标：

自动驾驶算法（一）：Dijkstra算法讲解与代码实现

        我们先看下node类。

    class Node:def __init__(self, x, y, cost, parent_index):self.x = x  # index of gridself.y = y  # index of gridself.cost = cost  # g(n)self.parent_index = parent_index  # index of previous Nodedef __str__(self):return str(self.x) + "," + str(self.y) + "," + str(self.cost) + "," + str(self.parent_index)

        首先执行构造函数，我们发现就是把珊格的(x,y)坐标（并非真实坐标是珊格的）还有cost（后文说）以及父节点的ID赋值了。（so easy）        

        我们在看一下calc_xy_index函数：

    def calc_xy_index(self, position, minp):return round((position - minp) / self.resolution)

        它就是计算出真实世界的点点属于哪一个珊格的某一维度的坐标，我们举个例子：

self.calc_xy_index(sx, self.min_x)  sx = 30  minx = 20

        这就代表我们的地图边界的 x 坐标为20，这个点的坐标x=30，我们用（30-20）/2 = 5，那么这个珊格坐标的x方向的坐标就是5。

        start_node = self.Node(self.calc_xy_index(sx, self.min_x),self.calc_xy_index(sy, self.min_y), 0.0, -1)   # round((position - minp) / self.resolution)goal_node = self.Node(self.calc_xy_index(gx, self.min_x),self.calc_xy_index(gy, self.min_y), 0.0, -1)

        因此，这段代码的含义就是我们计算出了起始和终止点的珊格坐标，并且将代价置为0，且他们的父节点为-1（没有父亲节点）。封装成了node。

        下面进入算法部分，我们看流程图：

        代码部分和流程图是一样的：

        1.首先我们把起点放入openlist中：

        # 设置openlist closelist 基于哈希表open_set, closed_set = dict(), dict()     # key - value: hash表# 将startnode放进openset里面 索引为一维数组open_set[self.calc_index(start_node)] = start_node

        看一下calc_index函数：这里将珊格地图映射成了一个一维数组，返回数组的ID，类似C++中的二维数组降维。这里openset是一个字典，里面的key是珊格地图点的ID，value是这个珊格节点。

    def calc_index(self, node):return node.y * self.x_width + node.x

        2.while True进入循环

        while 1:

        2.1 取openlist cost最小的节点作为当前节点

            c_id = min(open_set, key=lambda o: open_set[o].cost)current = open_set[c_id]

        2.2.1 判断当前是否为终点，如果是终点，如果是终点的话把终点的cost修改为当前点的cost值，且终点的父亲节点为当前点的父亲节点。

            # 判断是否是终点if current.x == goal_node.x and current.y == goal_node.y:print("Find goal")# 当前节点的信息赋值给终点goal_node.parent_index = current.parent_indexgoal_node.cost = current.costbreak

        2.2.2 不是最终节点的话从openlist删除加入到closelist

            # 把当前节点从openset里面删掉del open_set[c_id]# 加入到closed setclosed_set[c_id] = current

        2.3 遍历其9个邻接运动节点

            for move_x, move_y, move_cost in self.motion:

        2.3.1 封装邻接节点

node = self.Node(current.x + move_x,current.y + move_y,current.cost + move_cost, c_id)

        这个点到邻接节点的移动就是 x +-( 1或-1或+根号2或-根号2)，然后移动上下的话它的代价值需要+1，斜着移动需要 + 根号2，这样递归的进行我们就求出来所有点的代价值了，同样这个新走的点是通过我们这个点走过来的，因此新点的父节点就是我们这个点。

        2.3.2 求当前节点的一维索引判断是否收录到closelist并判断是否可行，如果收录了，那么已经有最小路径了不需要我们再去处理了，还需要判断这个节点是否在珊格地图标记为false点上（珊格地图就是这么用的....）如果这个地方有障碍物那么我们也走不了。

                # 求当前节点的keyn_id = self.calc_index(node)# 是否已经收录到close set里面if n_id in closed_set:continue# 邻接节点是否可行if not self.verify_node(node):continue

        2.3.3 如果不在openset里面我们就将她作为一个新节点加入，如果在openset比较值是否是最优更新，是否和之前的最优路径有重叠。

                if n_id not in open_set:open_set[n_id] = node  # Discover a new nodeelse:if open_set[n_id].cost >= node.cost:# This path is the best until now. record it!open_set[n_id] = node

        到这里我们的算法就结束了。我们迭代找到最终点后算法就break掉了～。

        最后我们计算路径：

    def calc_final_path(self, goal_node, closed_set):# generate final courserx, ry = [self.calc_position(goal_node.x, self.min_x)], [self.calc_position(goal_node.y, self.min_y)]parent_index = goal_node.parent_indexwhile parent_index != -1:n = closed_set[parent_index]rx.append(self.calc_position(n.x, self.min_x))ry.append(self.calc_position(n.y, self.min_y))parent_index = n.parent_indexreturn rx, ry

        我们将最终节点的珊格坐标还原成真实的三维坐标，并向前找他们的父亲节点直到起始节点（parent_index= -1），我们就出来这个路径了。