李宏毅机器学习笔记.Flow-based Generative Model(补)

原视频见油管https://www.youtube.com/watch?v=uXY18nzdSsM
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引子

之前有讲过三种生成模型：
1.Component-by-component (也叫：Auto-regressive Model)：按component进行生成，如何确定最佳的生成顺序？而且一个个的生成会使得速度比较慢。特别是语音生成，一秒钟需要生成的采样点个数约为20万个，有人声称：生成一秒钟，合成90分。
2.Autoencoder（VAE）：这个模型证明了是在优化似然的Lower bound，而非去maximize似然，这样的效果有多好还不好说。
3.Generative Adversarial Network(GAN)：虽然很强，但是很难训练。

生成问题回顾：Generator

A generator $G$ is a network. The network defines a probability distribution $p_G$
为什么说生成器网络定义了一个概率分布？看下面的流程：

图中$G$吃一个向量$z$得到一个表示$x=G(z)$，这个$x$是一个高维向量，是一张图像，$x$里面每一个维度就是这个图像的每一个像素。
输入向量$z$是用一个Normal Distribution中采样得来的：

因此经过多次采样经过$G$后会得到一个比较复杂的分布$p_G$：

我们希望找到一个$G$，使得其生成的分布$p_G$与实际图像分布$p_{data}(x)$越接近越好。

越接近越好就是要求最大似然，也就是要使得$p_G(x)$的似然与$p_{data}(x)$采样得到的样本越接近越好，用数学表示为：
G ∗ = a r g max ⁡ G ∑ i = 1 m log ⁡ p G ( x i ) , { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } f r o m p d a t a ( x ) ≈ a r g min ⁡ G K L ( p d a t a ∣ ∣ p G ) \begin{aligned} G^*&=arg\max_G\sum_{i=1}^{m}\log p_G(x^i),\{x^1,x^2,\cdots,x^m\}\text{ } from\text{ } p_{data}(x)\\ &\approx arg\min_G KL(p_{data}||p_G)\end{aligned} G∗​=argGmax​i=1∑m​logpG​(xi),{x1,x2,⋯,xm} from pdata​(x)≈argGmin​KL(pdata​∣∣pG​)​
上式中的求两个概率越接近越好也相当于求他们的KL散度越小越好。
由于$G$是一个网络，因此其生成概率的最大似然非常难求，Flow-based Generative Model提出了一种可以直接求最大似然的方法，接下来进入难点，补充部分数学推导。

Math Background

三个东西：Jacobian, Determinant, Change of Variable Theorem

Jacobian Matrix

假如有一个函数$x=f(z)$，吃一个二维向量$z=\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]$，得到输出：$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$。（Jacobian Matrix的输入和输出维度不一定一样，这里先简化来举例）
这里的函数可以看做上面提到的生成器$G$。
函数$x=f(z)$的Jacobian Matrix $J_f$可以写为输入和输出两两组合做偏导后形成的矩阵：
$$J_f=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial z_1}& \frac{\partial x_1}{\partial z_2}\\ \frac{\partial x_2}{\partial z_1}& \frac{\partial x_2}{\partial z_2}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

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Jacobian Matrix小例子，假如有这样的函数：
$$\left[\begin{array}{c}{z}_1+z_2\\ 2z_2\end{array}\right]=f\left(\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]\right)$$
则根据上面的公式1可以求得：
$$J_f=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial (z_1+z_2)}{\partial z_1}& \frac{\partial (z_1+z_2)}{\partial z_2}\\ \frac{\partial 2z_2}{\partial z_1}& \frac{\partial 2z_2}{\partial z_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$$

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同理，若有$z=f^{-1}(x)$，则有函数$f$inverse 的Jacobian Matrix：
$$J_{f^{-1}}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial z_1}{\partial x_1}& \frac{\partial z_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial z_2}{\partial x_1}& \frac{\partial z_2}{\partial x_2}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
公式1和2的两个矩阵互逆，二者的乘积结果是Identity矩阵（对角线是1，其他都是0）。

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反函数的Jacobian Matrix小例子，假如有这样的函数：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_2/2\\ x_1-x_2/2\end{array}\right]=f^{-1}\left(\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\right)$$
则根据上面的公式2可以求得：
$$J_{f^{-1}}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial (x_2/2)}{\partial x_1}& \frac{\partial (x_2/2)}{\partial x_2}\\ \frac{\partial (x_1-x_2/2)}{\partial x_1}& \frac{\partial (x_1-x_2/2)}{\partial x_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1/2\\ 1& -1/2\end{array}\right]$$

两个小例子的结果相乘：
$$J_f{J}_{f^{-1}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1/2\\ 1& -1/2\end{array}\right]=I$$

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Determinant 行列式

The determinant of a square matrix is a scalar that provides information about the matrix.
对于2×2的矩阵：
$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$
有：
$$det(A)=ad-bc$$

对于3×3的矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ a_4& a_5& a_6\\ a_7& a_8& a_9\end{array}\right]$$
有：
$$det(A)=a_1{a}_5{a}_9+a_2{a}_6{a}_7+a_3{a}_4{a}_8-a_3{a}_5{a}_7-a_2{a}_4{a}_9-a_1{a}_6{a}_8$$
行列式性质：
$$det(A)=\frac{1}{det(A^{-1})}$$
对于Jacobian Matrix则有：
$$det(J_f)=\frac{1}{det(J_{f^{-1}})}$$
行列式的几何含义是指行向量在高维空间形成的体积。对于低维，例如下面2×2的矩阵，其行列式就对应了其行向量所形成的面积

对于3×3的矩阵，，其行列式就对应了其行向量所形成的体积

Change of Variable Theorem

变量变换定理。

简单实例

假设有分布$\pi (z)$，其图像如下：

另有函数可以以上面的分布作为输入$x=f(z)$，得到的结果是另外一个分布$p(x)$，其图像如下：

现在要弄清楚$\pi (z)$和$p(x)$两个分布之间的关系。

下面来看简单的例子，假设分布$\pi (z)$如下图：

可以看到$\pi (z)$是一个简单的均匀分布，它在0~1之间有分布。根据概率的定义：
$${\int }_0^1\pi (z)dz=1$$
因此可以知道该分布的高度为1。
令假设有函数
$$x=f(z)=2z+1$$
则可以得到函数生成的分布$p(x)$的图像为：

由于$p(x)$是概率分布，因此其也要满足：
$${\int }_1^{3}p(x)dx=1$$
则绿色分布的高度为0.5，则可以德奥两个分布之间的关系：

可以写成：
$$p(x^{\prime })=\frac{1}{2}\pi (z^{\prime })$$

一维实例

下面再推广到更一般的情况。
现在有一个分布记为$\pi (z)$，它经过一个变换（或者按上面的说法经过一个函数）后，得到另外一个分布$p(x)$，对于下图而言，$z^{\prime }$通过变换后就到$x^{\prime }$的位置，对应的概率密度从$\pi (z^{\prime })$变成了$p(x^{\prime })$。

虽然我们不知道$\pi (z)$和$p(x)$具体的公式，但是我们如果知道变换所涉及的函数，是可以写出二者的关系的，这就是通过Change of Variable Theorem来找到这个关系的过程。
先将$z^{\prime }$做一个小小的变动，成为：$z^{\prime }+\Delta z$，相应的，根据变换函数，可以得到对应的$x^{\prime }+\Delta x$

由于我们做的小小的变动，因此，从$z^{\prime }$到$z^{\prime }+\Delta z$对应的概率密度可以看做是均匀分布，同理，从$x^{\prime }$到$x^{\prime }+\Delta x$应的概率密度也可以看做是均匀分布：

相当于将蓝色方块经过变形，得到绿色方块，二者的面积是相等的，二者长×宽应该结果一样。即：
$$p(x^{\prime })\Delta x=\pi (z^{\prime })\Delta z$$
移项办得到二者的关系可以写为：
$$p(x^{\prime })=\pi (z^{\prime })\frac{\Delta z}{\Delta x}$$
由于$\Delta$是很小的值，因此根据导数的概念，上式可以写为：
$$p(x^{\prime })=\pi (z^{\prime })\frac{dz}{dx}$$
由于上面的求导项可能有正负：

因此要加上绝对值避免负值：
$$p(x^{\prime })=\pi (z^{\prime })\left|\frac{dz}{dx}\right|$$

二维实例

对于二维的情况：

同样的，现在有一个分布记为$\pi (z)$，它经过一个变换后，得到另外一个分布$p(x)$，对于下图而言，$z^{\prime }$通过变换后就到$x^{\prime }$的位置，对应的概率密度从$\pi (z^{\prime })$变成了$p(x^{\prime })$。
还是给$z^{\prime }$做一个小小的变动，蓝色方形和绿色菱形的对应的概率密度体积应该相等。这里的体积就是底面积×概率密度，蓝色底面积好求，绿色菱形底面积用上面的行列式的几何概念来求，可以看到下图中菱形可以写为成两个向量的表示$[\Delta x_{11},\Delta x_{21}]$，$[\Delta x_{12},\Delta x_{22}]$。

最后就是写成：
$$p(x^{\prime })\left|det\left[\begin{array}{cc}\Delta x_{11}& \Delta x_{21}\\ \Delta x_{12}& \Delta x_{22}\end{array}\right]\right|=\pi (z^{\prime })\Delta z_1\Delta z_2\text{\hspace{1em}(3)}$$

下面开始数学上的化简，假设变换函数为：$x=f(z)$，则公式3可以写为：
$$p(x^{\prime })\left|\frac{1}{\Delta z_1\Delta z_2}det\left[\begin{array}{cc}\Delta x_{11}& \Delta x_{21}\\ \Delta x_{12}& \Delta x_{22}\end{array}\right]\right|=\pi (z^{\prime })$$
根据线代的指数，将分数项放入行列式：
$$p(x^{\prime })\left|det\left[\begin{array}{cc}\frac{\Delta x_{11}}{\Delta z_1}& \frac{\Delta x_{21}}{\Delta z_1}\\ \frac{\Delta x_{12}}{\Delta z_2}& \frac{\Delta x_{22}}{\Delta z_2}\end{array}\right]\right|=\pi (z^{\prime })$$
由于：
$\Delta x_{11}$是$\Delta z_1$在$x_1$上的改变量；
$\Delta x_{21}$是$\Delta z_1$在$x_2$上的改变量；
$\Delta x_{12}$是$\Delta z_2$在$x_1$上的改变量；
$\Delta x_{22}$是$\Delta z_2$在$x_2$上的改变量。
上面的式子可以写成：
$$p(x^{\prime })\left|det\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial z_1}& \frac{\partial x_2}{\partial z_1}\\ \frac{\partial x_1}{\partial z_2}& \frac{\partial x_2}{\partial z_2}\end{array}\right]\right|=\pi (z^{\prime })$$
将矩阵进行Transpose不会改变行列式的值，上式可以写成：
$$p(x^{\prime })\left|det\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x_1}{\partial z_1}& \frac{\partial x_1}{\partial z_2}\\ \frac{\partial x_2}{\partial z_1}& \frac{\partial x_2}{\partial z_2}\end{array}\right]\right|=\pi (z^{\prime })$$
上面行列式中的句子和公式1中的Jacobian Matrix形式一样，因此可以写成：
$$p(x^{\prime })\left|det(J_f)\right|=\pi (z^{\prime })\text{\hspace{1em}(4)}$$
也可以写为：
$$p(x^{\prime })=\pi (z^{\prime })\left|\frac{1}{det(J_f)}\right|=\pi (z^{\prime })|det(J_{f^{-1}})|\text{\hspace{1em}(5)}$$

网络G的限制

先把上面最大似然的式子copy下来
G ∗ = a r g max ⁡ G ∑ i = 1 m log ⁡ p G ( x i ) , { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } f r o m P d a t a ( x ) G^*=arg\max_G\sum_{i=1}^{m}\log p_G(x^i),\{x^1,x^2,\cdots,x^m\}\text{ } from\text{ } P_{data}(x) G∗=argGmax​i=1∑m​logpG​(xi),{x1,x2,⋯,xm} from Pdata​(x)
根据上面公式5，可以把$p_G$写成：
$$p_G(x^i)=\pi (z^i)|det(J_{G^{-1}})|$$
由已知的$x=G(z)$可以得其反函数为：$z^i=G^{-1}(x^i)$，带入上式：
$$p_G(x^i)=\pi \left(G^{-1}(x^i)\right)\left|det(J_{G^{-1}})\right|$$
两边同时取对数，然后乘变加展开：
$$\begin{array}{rl}\log p_G(x^i)& =\log \left[\pi \left(G^{-1}(x^i)\right)\left|det(J_{G^{-1}})\right|\right]\\ & =\log \left(G^{-1}(x^i)\right)+\log \left|det(J_{G^{-1}})\right|\end{array}$$
要求$G^{\ast }$就是要求上式的最大值，如果要想用GD来求解，必须要计算两个东西：
1.$det(J_{G^{-1}})或det(J_G)$：这个还比较好算，就是要计算输入$z$和输出$x$的偏导即可，但是如果输入和输出各自有1000维，由于Jacobian Matrix是输入输出的各个维度的两两偏导，其大小就是：1000×1000，这个大小的矩阵求行列式的值计算量会很大。
2.$G^{-1}$：主要是要确保$G$有反函数，由于$G$是一个网络，因此其构架要精心设计才会有反函数。

根据上面的两点，如果要输出一张100×100×3的图片，那么输入也要100×100×3，这个是确保$G$有反函数的必要条件。
显然，网络$G$不可以是简单的、任意的类似CNN、RNN等网络架构，于是就有了流式设计。

基于Flow的网络构架

一个网络$G$不够，因此考虑像流水一样设计多个网络进行concat：

根据上面的公式，这些网络之间的输入输出关系如下：
$$\begin{array}{rl}{p}_1(x^i)& =\pi \left(z^i\right)\left(\left|det(J_{G_1^{-1}})\right|\right)\\ p_2(x^i)& =\pi \left(z^i\right)\left(\left|det(J_{G_1^{-1}})\right|\right)\left(\left|det(J_{G_2^{-1}})\right|\right)\\ & ⋮\\ p_K(x^i)& =\pi \left(z^i\right)\left(\left|det(J_{G_1^{-1}})\right|\right)\cdots \left(\left|det(J_{G_K^{-1}})\right|\right)\end{array}$$
两边同时取对数，乘变加：
$$\log p_K(x^i)=\log \pi \left(z^i\right)+\sum _{h=1}^K\log \left|det(J_{G_K^{-1}})\right|\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中：
$$z^i=G_1^{-1}\left(\cdots G_K^{-1}\left(x^i\right)\right)$$
现在要求的就是公式6的最大化。

G的训练

为了求公式6的最大化，这里先简化一下问题，先考虑只有一个$G$情况：

此时需要最大化的式子为：
$$\log p_G(x^i)=\log \pi \left(G^{-1}\left(x^i\right)\right)+\log \left|det(J_{G^{-1}})\right|\text{\hspace{1em}(7)}$$
式子中只有出现$G^{-1}$，因此可以训练一个$G^{-1}$对应的网络，训练好后，将其输入输出反过来，就变成了$G$。
具体训练过程是从真实数据$p_{data}(x)$中采样一些样本$x^i$出来，丢进$G^{-1}$对应的网络，得到对应的$z^i$

先看公式7中的前半部分：
$$\log \pi \left(G^{-1}\left(x^i\right)\right)$$
这里的$\pi$是正态分布，也就是当$z^i=G^{-1}\left(x^i\right)=0$的时候，正态分布$\pi$会得到最大值（正态分布最正中的地方就是波峰）；
如果$z^i$趋向于0或者说0向量的时候，其对应的Jacobian Matrix，$J_{G^{-1}}$也会是0矩阵（因为该矩阵每个元素都是要求$z$对$x$的偏导），0矩阵的行列式$det(J_{G^{-1}})=0$，再取对数会使得公式7中的后半部分趋向于负无穷大。
总之就是一项要使得$z^i$趋向于0，后一项使得$z^i$不为0。

Coupling Layer

Coupling Layer反函数计算

这个设计可以参考两篇文章：NICE: Non-linear Independent Components Estimation、Density estimation using Real NVP
具体结构如下图：

假设$z$是$D$维，先将其分成两部分，分别是：$z_1,\cdots ,z_d$和$z_{d+1},\cdots ,z_D$。
1.将$z$的第一部分$z_1,\cdots ,z_d$直接复制，成为$x$的第一部分：$x_1,\cdots ,x_d$；
2.将$z$的第一部分$z_1,\cdots ,z_d$分别丢进两个网络$F$和$H$（两个网络没有invertiable的限制，可以是深度CNN），分别得到${\beta }_{d+1},\cdots ,{\beta }_D$和${\gamma }_{d+1},\cdots ,{\gamma }_D$；
3.将$z$的第二部分$z_{d+1},\cdots ,z_D$先和${\beta }_{d+1},\cdots ,{\beta }_D$点积，然后再加上${\gamma }_{d+1},\cdots ,{\gamma }_D$，得到$x$的第二部分：$x_{d+1},\cdots ,x_D$：
$$x_{i>d}={\beta }_i{z}_i+{\gamma }_i$$

Coupling Layer之所以这样设计，就是可以计算反函数，现在利用$x$来算$z$，看下图的红线及序号：

1.将$x$的第一部分：$x_1,\cdots ,x_d$直接复制，成为$z$的第一部分$z_1,\cdots ,z_d$；
2.和上面的步骤2一样，将$z$的第一部分$z_1,\cdots ,z_d$分别丢进两个网络$F$和$H$，分别得到${\beta }_{d+1},\cdots ,{\beta }_D$和${\gamma }_{d+1},\cdots ,{\gamma }_D$；
3.根据以下公式计算$z_{i>d}$：
$$z_{i>d}=\frac{x_i-{\gamma }_i}{{\beta }_i}$$

Coupling Layer Jacobian矩阵计算

先把上面的Coupling Layer 结构简化成下面的样子，注意颜色：

将Jacobian矩阵的计算结果分为四个部分，这里的颜色和上面的简化模型颜色是对应的：

左上角是Identity矩阵，因为这里$x_{i<d}=z_{i<d}$，浅蓝对浅绿的偏导结果除了对角线其他位置都是0；
右上角结果是0，因为这里浅蓝部分$x_1,\cdots ,x_d$与深绿部分$z_{d+1},\cdots ,z_D$无关，求偏导后均为0；
左下角的内容不需要考虑，因为左上角是Identity矩阵和右上角是0，整个灰色大矩阵的行列式的值等于右下角的行列式的值，这个是行列式的某个推论；
右下角就是要看深绿和深蓝部分的关系，他们的关系在上面有写：
$$x_{i>d}={\beta }_i{z}_i+{\gamma }_i\text{\hspace{1em}(8)}$$
从这个式子可以看到，$x_{d+1}$只与$z_{d+1}$有关，与$z_{d+2},\cdots ,z_D$无关，因此，右下角只有对角线上有值（但不为1），是一个对角线矩阵。
现在问题变成要求右下角矩阵行列式的值，由于右下角是一个对角线矩阵，因此其行列式的值等于对角线上的所有值的乘积（行列式定义简单推导即可得到该结论），可写为：
$$det(J_G)=\frac{\partial x_{d+1}}{\partial z_{d+1}}\frac{\partial x_{d+2}}{\partial z_{d+2}}\cdots \frac{\partial x_D}{\partial z_D}$$
根据公式8可以将每一项偏导求出来：
$$det(J_G)={\beta }_{d+1}{\beta }_{d+2}\cdots {\beta }_D$$

Coupling Layer Stacking

下面来看Coupling Layer如何叠加，假设有多个Coupling Layer如下图

按照单个Coupling Layer的原理，我们发现它会把第一层浅黄色部分直接copy到最后一层，这样会使得最后的部分和原始输入的noise一样（原始输入是从搞屎分布中随机sample出来），这样没有啥意义。

因此在堆叠的时候可以适当做一些反向，注意看函数的箭头：

经过Copy操作后变成：

在做图像生成实操的时候如何做反向？有两种方法：
第一种，按棋盘式的前后两两反向

第二种，将图片的channel进行反接，一层做copy，一层做Transform：

两种方法还可以混合使用。

1×1 Convolution

另外一个技巧让基于Flow的网络构架对称的技巧就是1×1的卷积，这个是15年就提出来的概念，但是22年又用在了GLOW上面，使得我们在不使用GAN的情况下也能做图像生成。
Glow: Generative Flow with Invertible 1x1 Convolutions

假设输入为$z$，输出为$x$，由于是图像问题，图片中每个像素看做一个单位，且有RGB三个channel，1×1的卷积过程如下图所示：

将$z$中的每一个像素对应的3个channel与大小为3×3的矩阵$W$相乘，得到x相同位置上的一个像素的3个channel。
$$x=f(z)=Wz\text{\hspace{1em}(9)}$$
矩阵$W$是通过训练学习得来，其作用为将3个channel进行shuffle，例如：
$$\stackrel{W}{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right]$$
这样就可以使得在用Coupling Layer stacking的时候，不需要进行反接，而是让模型自己学习$W$，决定如何来交换channel的位置。将$W$加入Generator构架$G$中后，也必须是是invertiable的，即：$W$必须存在$W^{-1}$。GLOW文章中没有证明$W$一定可逆，仅提到使用了存在$W^{-1}$的$W$进行初始化，并希望在模型自动学习收敛后，$W$还是可逆。当然三阶矩阵不可逆的条件比较苛刻（除非该矩阵对应的行列式值为0），一般三阶矩阵都可以满足可逆这一条件。

下面根据公式9来求单个像素点对应的Jacobian Matrix，将该公式写开：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{11}& w_{12}& w_{13}\\ w_{21}& w_{22}& w_{23}\\ w_{31}& w_{32}& w_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]$$
Jacobian Matrix计算结果就为：
$$j_f=\left[\begin{array}{ccc}\partial x_1/\partial z_1& \partial x_1/\partial z_2& \partial x_1/\partial z_3\\ \partial x_2/\partial z_1& \partial x_2/\partial z_2& \partial x_2/\partial z_3\\ \partial x_3/\partial z_1& \partial x_3/\partial z_2& \partial x_3/\partial z_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{w}_{11}& w_{12}& w_{13}\\ w_{21}& w_{22}& w_{23}\\ w_{31}& w_{32}& w_{33}\end{array}\right]=W$$

接下来看整个图片的Jacobian Matrix，假设图片大小是$d\times d$：

根据上面的图来看，只有对应位置上的像素点做了乘$W$的操作，而与其他像素点是没有关系的，因而整个图片的Jacobian Matrix可以表示为下图：

只有对角线部分是由一个个$W$组成，其他位置都是0，根据线性代数的推论，整个矩阵的行列式的值为：
$${\left(det(W)\right)}^{d\times d}$$
由于$W$是3×3的矩阵，其行列式的值很容易算（可参加上面有公式）。

GLOW效果

接下来演示了OpenAI的GLOW模型效果GLOW模型效果，合成：

魔改笑脸，收集不笑的人脸和有笑容的人脸，通过$G^{-1}$求向量后，分别求两组人脸的平均，然后求差就得到从不笑到笑之间的向量为$z_{simle}$：

找一张要改笑容的图片，通过$G^{-1}$求向量后，加上$z_{simle}$，再过$G$得到结果：

其他工作

语音合成
Parallel WaveNet: Fast High-Fidelity Speech Synthesis

WaveGlow: A Flow-based Generative Network for Speech Synthesis