Leetcode.974 和可被 K 整除的子数组

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Leetcode.974 和可被 K 整除的子数组 rating : 1676

题目描述

给定一个整数数组 $nums$ 和一个整数 $k$ ，返回其中元素之和可被 $k$ 整除的（连续、非空） 子数组 的数目。

子数组 是数组的 连续 部分。

示例 1：

输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：7
解释：
有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

示例 2：

输入: nums = [5], k = 9
输出: 0

提示：

• $1\le nums.length\le 3\ast 10^4$
• $-10^4\le nums[i]\le 10^4$
• $2\le k\le 10^4$

解法：前缀和 + 哈希表

我们假设 $[j,i]$ 区间的子数组元素和可以被 $k$ 整除，即 :

$$(nums[j]+nums[j+1]+...+nums[i-1]+nums[i])modk=0$$

我们用 $sum$ 表示 $nums$ 的前缀和数组，可将上式转换为：

$$(sum[i]-sum[j-1])modk=0$$

再转换一下得到：

$$sum[j-1]modk=sum[i]modk$$

那么以 $nums[i]$ 为结尾的数组，我们只需要统计前面等于 $sum[j-1]modk$ 也就是 $sum[i]modk$ 的数量 $t$ 即可。

那么这个 $t$ 就是以 $nums[i]$ 为结尾的数组中 和能被 $k$ 整除的子数组的数量。

我们只需要对每一个 $nums[i]$ 都加上 $t$ 即可，这样我们就可以统计出所有的 和能被 $k$ 整除的子数组的数量。

在实现上，我们使用哈希表来记录前缀和出现的次数。初始时，和为 $0$ ，也需要统计它的出现次数，即 { 0 , 1 } \{ 0 , 1 \} {0,1}。

注意：由于 $nums$ 中存在负数，所以 $summodk$ 仍然有可能是负数，所以我们要将其转换为正数，即：

$$key=(summodk+k)modk$$

时间复杂度：$O(n)$

C++代码：

class Solution {
public:int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {int n = nums.size();int ans = 0 , sum = 0;unordered_map<int,int> cnt{{0,1}};for(int i = 0;i < n;i++){sum += nums[i];auto key = (sum % k + k) % k;ans += cnt[key];cnt[key]++;}return ans;}
};