EM@常见平面曲线的方程的不同表示方式

abstract

• 常见平面曲线的方程的不同表示方式

常见曲线的不同形式

• 下面以平面曲线为对象讨论
• 参数方程通常是对普通方程的补充和增强,曲线的普通方程(直角坐标方程)和其参数方程通常在直角坐标系中讨论,都涉及到$x,y$
• 而曲线的极坐标方程,是以和直角坐标截然不同的坐标系,尤其擅长表示的曲线类型,利用直角坐标和极坐标转换公式,可以完成同一曲线的普通方程和极坐标方程形式转换
• 在应用中,处理方程形式的变换,还要注意定义域或变量取值范围的等价转换,例如
  • $x^2+y^2=1$,$(x,y⩾0)$转换为极坐标表示为:$\rho =1$,$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$,都表示的是$\frac{1}{4}$圆弧,
  • 而对应的参数方程为$x=\cos \theta$;$y=\sin \theta$,$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$
    • $x$在该段圆弧的取值范围$[0,1]$,因此$x=\cos \theta \in [0,1]$,解得$\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$
• 直角坐标和极坐标转换公式是在极坐标的极点和直角坐标原点重合的情形
  • $x=\rho \cos \theta$;$y=\rho \sin \theta$
• 上述转换公式不能滥用,有时极点不和直角坐标系的原点重合,就不能直接代入上述公式,需要调整
  • 极点的位置根据问题的需要建立在合适的位置对于极坐标方程的形式是重要的,而对比较简单的情形,通常建立在直角坐标系的原点上

小结:一览表

曲线	普通方程	极坐标方程	参数方程
圆心在$(0,0)$	$x^2+y^2=R^2$	$\rho =R$	$x=R\cos \theta$;$y=R\sin \theta$,$(\theta \in [0,2\pi ))$
圆心在$(a,b)$	$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$	$(\rho \cos \theta -a{)}^2+(\rho \sin \theta -b{)}^2=R^2$	$x=a+R\cos \theta$ ;$y=b+R\sin \theta$;$((\theta \in [0,2\pi ))$
圆心在$(a,0)$且半径$R=a$	$(x-a{)}^2+y^2=a^2$	$\rho =2a\cos \theta$	$x=a+a\cos \theta$ ;$y=a\sin \theta$;$((\theta \in [0,2\pi ))$
圆心在$(0,a)$且半径$R=a$	$x^2+(y-b{)}^2=a^2$	$\rho =2a\sin \theta$	$x=a\cos \theta$ ;$y=a+a\sin \theta$;$((\theta \in [0,2\pi ))$
直线	$Ax+By+C=0$	$A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta +C=0$	$x=x_0+Bt$;$y=y_0-At$ $(t\in \mathbb{R})$
		以下极点建立在焦点上
椭圆(中心位于$(0,0)$)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\rho =\frac{p}{1-e\cos \theta }$,$(e<1)$	$x=a\cos t$;$y=b\sin t$;$0\in [0,2\pi ]$
抛物线(顶点位于$(0,0)$)	$y^2=x$	$\rho =\frac{p}{1-e\cos \theta }$,$(e=1)$	$x=2p{t}^2$;$y=2pt$;$(t\in \mathbb{R})$
双曲线(中心位于$(0,0)$)	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$\rho =\frac{p}{1-e\cos \theta }$,$(e>1)$	$x=a\sec \theta$;$y=b\tan \theta$;$(\theta \in [0,2\pi ),\theta \ne k\pi +\frac{\pi }{2},k=0,1)$

分析

• 上表中不是每个方程都常用例如极坐标方程形式复杂或不便于计算,就不常用

• 直线的普通方程有各种各样的形式,一般方程$Ax+By+C=0$,$(AB\ne 0)$可以表示任意直线

  • 其法线方向向量为$(A,B)$
  • 其方向向量为$(B,-A)$

• 直线的参数方程也有多种形式

• 从普通方程化为极坐标方程通常是容易的

  • 只要将直角坐标和极坐标的转换公式代入普通方程,即可得到极坐标方程
  • 而对于简单曲线,还可以从几何特点出发:设曲线上的任意点为$(\rho ,\theta )$,根据曲线几何特点,建立极坐标方程,这比通用的代入转化公式更加直观
  • 例如,半径为$R$,圆心为$(0,0)$,可以立马根据几何性质写出极坐标方程为$\rho =1$

• 而普通方程化为参数方程就复杂一些

圆锥曲线的极坐标方程

• 上述表格中给出的是中心在坐标原点的情形下圆锥曲线的极坐标方程
• 将极坐标建立在直角坐标系原点上是不常见的,此时代入坐标转换公式可知,形式复杂,一般不利于使用

非标准位置的圆锥曲线参数方程

• 对于椭圆和双曲线,标准位置指中心在坐标原点的情形

• 利用坐标平移公式,可以得到与非标准位置的圆的类似的参数方程

  • 椭圆(中心为$(x_0,y_0)$):$x=x_0+a\cos \theta$;$y=y_0+b\sin \theta$;$\theta \in [0,2\pi ]$
  • 双曲线(中心为$(x_0,y_0)$):$x=x_0+a\sec \theta$;$y=y_0+b\tan \theta$;$\theta \in [0,2\pi ]$
  • 抛物线(顶点为$(x_0,y_0)$):$x=x_0+2p{t}^2$;$y=y_0+2pt$;$t\in \mathbb{R}$

应用比较

• 极坐标方程适合用在$f(x^2+y^2)$,$f(\frac{y}{x})$,$f(\frac{x}{y})$这类情形下,可以简化曲线的表示形式,在二重积分的某些和圆有关的区域,用极坐标表示往往是方便的
• 参数方程可以表示一些一般方程那一表示的或者表示形式复杂的曲线或方程

refs

• 极坐标方程
• 圆@圆锥曲线参数方程