理解位运算的规则

关卡名	理解位运算的规则	我会了✔️
内容	1.理解位运算的基本规则	✔️
	2.理解移位的原理以及与乘除的关系	✔️
	3.掌握位运算的常用技巧	✔️

在学习位操作之前，我们先明确数据在计算机中怎么表示的。我们明确原码、反码和补码的概念和表示方法，之后介绍位运算相关的问题。

1 数字在计算机中的表示 

机器数 一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
真值 因为机器数第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为了好区别，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1。
计算机对机器数的表示进一步细化：原码， 反码， 补码。
原码 就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值， 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]，也即 [-127 , 127]
反码 的表示方法是：正数的反码是其本身，而负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。例如： 

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。
在应用中，因为补码 能保持加和减运算的统一，因此应用更广，其表示方法是:

• 正数的补码就是其本身；
• 负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1(即在反码的基础上+1)。 

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数， 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的，通常也需要转换成原码在计算其数值。
拓展 为何会有原码，反码和补码
既然原码就能表示数据，那为什么实际软件中更多使用的是补码呢？接下来我们就看一看。
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码， 反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢?
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位选择对真值区域的加减。但是计算机要辨别"符号位"就必须获得全部的位的数据才可以，显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！ 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。 我们知道， 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数， 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。于是人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。
看个例子，计算十进制的表达式: 1-1=0，首先看原码的表示：
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题就出现了反码，此时计算十进制的表达式为: 1-1=0 

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0000 0001]原 + [1000 0001]原

= [0000 0001]反 + [1111 1110]反

= [1111 1111]反 = [1000 0000]原

= -0

可以看到用反码计算减法结果的真值部分是正确的，但是"0"的表示有点奇怪，+0和-0是一样的，而且0带符号是没有任何意义，而且要浪费[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码来表示0。于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题: 

1-1 = 1 + (-1) =

[0000 0001]原 + [1000 0001]原

= [0000 0001]补 + [1111 1111]补

= [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示， 而以前出现问题的-0则不存在了，而且可以用[1000 0000]表示-128： 

(-1) + (-127) =

[1000 0001]原 + [1111 1111]原

= [1111 1111]补 + [1000 0001]补

= [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128，我们正好可以用[1000 0000]来表示-128，这样使用补码表示的范围为[-128, 127]，这一点也比原码的[-127,127]好。拓展一下，对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] ，这也是我们在应用中经常见到的定义方式。

2 位运算规则 

本节的内容很多你可能学过，但是请再认真思考一遍，因为大量的算法解决思路都是从这里引申出来的
计算机采用的是二进制，二进制包括两个数码：0，1。在计算机的底层，一切运算都是基于位运算实现的，所以研究清楚位运算可以加深我们对很多基础原理的理解程度。
在算法方面，不少题目都是基于位运算拓展而来的，而且还有一定的技巧，如果不提前学一学，面试时很难想到。
位运算主要有：与、或、异或、取反、左移和右移，其中左移和右移统称移位运算，移位运算又分为算术移位和逻辑移位。

2.1 与、或、异或和取反

与运算的符号是 &，运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位都为 1 时，结果才为 1，否则结果为 0。

0 & 0=0

0 & 1=0

1 & 0=0

1 & 1=1

或运算的符号是 |，运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位都为 0 时，结果才为 0，否则结果为 1。

0 ∣ 0=0

0 ∣ 1=1

1 ∣ 0=1

1 ∣ 1=1

异或运算的符号是 ⊕（在代码中用∧ 表示异或），运算规则是：对于每个二进制位，当两个数对应的位相同时，结果为 0，否则结果为 1。

0⊕0=0

0⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0

取反运算的符号是 ∼，运算规则是：对一个数的每个二进制位进行取反操作，0 变成 1，1 变成 0。

∼0=1

∼1=0

以下例子显示上述四种位运算符的运算结果，参与运算的数字都采用有符号的 8 位二进制表示。

• 46 的二进制表示是 00101110，51 的二进制表示是 00110011。考虑以下位运算的结果。
• 46&51的结果是34，对应的二进制表示是 00100010。
• 46|51 的结果是63，对应的二进制表示是 00111111。
• 46⊕51 的结果是29，对应的二进制表示是 00011101。
• ∼46 的结果是−47，对应的二进制表示是 11010001。
• ∼51 的结果是 −52，对应的二进制表示是 11001100。 

2.2 移位运算 

移位运算按照移位方向分类可以分成左移和右移，按照是否带符号分类可以分成算术移位和逻辑移位。
原始：0000 0110 6
右移一次：0000 0011 3 相当于除以2
左移一次：0000 1100 12 相当于乘以2

6*3 =>6*(2+1)=> 6*2+6*1

66*33=>66*(32+1) 66*32+66*1

左移运算的符号是 <<，左移运算时，将全部二进制位向左移动若干位，高位丢弃，低位补 0。对于左移运算，算术移位和逻辑移位是相同的。
右移运算的符号是 >>。右移运算时，将全部二进制位向右移动若干位，低位丢弃，高位的补位由算术移位或逻辑移位决定：

• 算术右移时，高位补最高位；
• 逻辑右移时，高位补 0。

以下例子显示移位运算的运算结果，参与运算的数字都采用有符号的 8 位二进制表示。

• 示例1：29 的二进制表示是 00011101。29左移 2 位的结果是 116，对应的二进制表示是 01110100；29 左移 3 位的结果是 −24，对应的二进制表示是 11101000。
• 示例2：50的二进制表示是 00110010。50 右移 1 位的结果是 25，对应的二进制表示是 00011001；50 右移 2 位的结果是 12，对应的二进制表示是 00001100。对于 0和正数，算术右移和逻辑右移的结果是相同的。
• 示例3：-50的二进制表示是 11001110(补码)。-50 算术右移 2 位的结果是 −13，对应的二进制表示是 11110011；−50 逻辑右移 2位的结果是 51，对应的二进制表示是 00110011。

右移运算中的算术移位和逻辑移位是不同的，计算机内部的右移运算采取的是哪一种呢？

• 对于 C/C++ 而言，数据类型包含有符号类型和无符号类型，其中有符号类型使用关键字signed 声明，无符号类型使用关键字 unsigned 声明，两个关键字都不使用时，默认是有符号类型。对于有符号类型，右移运算为算术右移；对于无符号类型，右移运算为逻辑右移。
• 对于 Java 而言，不存在无符号类型，所有的表示整数的类型都是有符号类型，因此需要区分算术右移和逻辑右移。在Java 中，算术右移的符号是 >>，逻辑右移的符号是 >>>。 

2.3 移位运算与乘除法的关系 

观察上面的例子可以看到，移位运算可以实现乘除操作。由于计算机的底层的一切运算都是基于位运算实现的，因此使用移位运算实现乘除法的效率显著高于直接乘除法的。
左移运算对应乘法运算。将一个数左移 k位，等价于将这个数乘以 2^k。例如，29 左移 2 位的结果是 116，等价于 29×4。当乘数不是 2 的整数次幂时，可以将乘数拆成若干项 2 的整数次幂之和，例如，a×6 等价于 (a<<2)+(a<<1)。对于任意整数，乘法运算都可以用左移运算实现，但是需要注意溢出的情况，例如在 8 位二进制表示下，29 左移 3 位就会出现溢出。
算术右移运算对应除法运算，将一个数右移 k 位，相当于将这个数除以 2^k。例如，50 右移 2 位的结果是 12，等价于 50/4，结果向下取整。
从程序实现的角度，考虑程序中的整数除法，是否可以说，将一个数（算术）右移 k 位，和将这个数除以 2^k等价？对于 0 和正数，上述说法是成立的，整数除法是向 0 取整，右移运算是向下取整，也是向 0 取整。但是对于负数，上述说法就不成立了，整数除法是向 0 取整，右移运算是向下取整，两者就不相同了。例如，(−50)>>2 的结果是 −13，而 (−50)/4 的结果是 −12，两者是不相等的。因此，将一个数（算术）右移 k 位，和将这个数除以 2^k是不等价的。算法出题这早就考虑到了这一点，因此在大部分算法题都将测试数据限制在正数和0的情况，因此可以放心的左移或者右移。

2.4 位运算常用技巧

位运算的性质有很多，此处列举一些常见性质，假设以下出现的变量都是有符号整数。

• 幂等律：a &a=a，a ∣ a=a（注意异或不满足幂等律）；
• 交换律：a & b=b & a，a ∣ b=b ∣ a，a⊕b=b⊕a；
• 结合律：(a & b) & c=a & (b & c)，(a ∣ b) ∣ c=a ∣ (b ∣ c)，(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)；
• 分配律：(a & b) ∣ c=(a ∣ c) & (b ∣ c)，(a ∣ b) & c=(a & c) ∣ (b & c)，(a⊕b) & c=(a & c)⊕(b & c)；
• 德摩根律：∼(a & b)=(∼a) ∣ (∼b)，∼(a ∣ b)=(∼a) & (∼b)；
• 取反运算性质：−1=∼0，−a=∼(a−1)；
• 与运算性质：a & 0=0，a & (−1)=a，a & (∼a)=0；
• 或运算性质：a ∣ 0=a；
• 异或运算性质：a⊕0=a，a⊕a=0；
• 根据上面的性质，可以得到很多处理技巧，这里列举几个：
• a & (a−1) 的结果为将 a 的二进制表示的最后一个 1 变成 0；
• (补码)a & (−a)的结果为只保留 a 的二进制表示的最后一个 1，其余的 1 都变成 0。
• 处理位操作时，还有很多技巧，不要死记硬背，理解其原理对解决相关问题有很大帮助。下面的示例中，1s和0s分别表示与x等长的一串1和一串0：

而如何获取、设置和更新某个位的数据，也有固定的套路。例如：

1.获取 

该方法是将1左移i位，得到形如00010000的值。接着堆这个值与num执行”位与“操作，从而将i位之外的所有位清零，最后检查该结果是否为零。不为零说明i位为1，否则i位为0。代码如下：

boolean getBit(int num,int i){return ((num&(1<<i))!=0);
}

2.设置（将某一位设置为1）

setBit先将1左移i位，得到形如00010000的值，接着堆这个值和num执行”位或“操作，这样只会改变i位的数据。这样除i位外的位均为零，故不会影响num的其余位。代码如下：

int setBit(int num,int i){return num |(1<<i);
}

3. 清零（将某一位设置为0） 

该方法与setBit相反，首先将1左移i位获得形如00010000的值，对这个值取反进而得到类似11101111的值，接着对该值和num执行”位与“，故而不会影响到num的其余位，只会清零i位。

int clearBit(int num ,int i){int mask=~(1<<i);return num&mask;}

4.更新 

这个方法是将setBit和clearBit合二为一，首先用诸如11101111的值将num的第i位清零。接着将待写入值v左移i位，得到一个i位为v但其余位都为0的数。最后对之前的结果执行”位或“操作，v为1这num的i位更新为1，否则为0：

int updateBit(int num,int i,int v){int mask=~(1<<i);return (num&mask)|(v<<i); 
}