【数据结构】动态规划(Dynamic Programming)
一.动态规划(DP)的定义:
求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
将多阶段决策过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解。
二.动态规划的基本思想:
与分治法类似,将待求解问题分解成若干个子问题。
但是经分解得到的子问题往往不是相互独立的。
如果使用分治法求解问题,有些子问题被重复计算了多次。
而“如何减少子问题的重复计算”是动态规划算法的关键思想。
问题:如何减少子问题的重复计算呢?
解决方案:保存已解决的子问题的答案,在需要的时候找出已经求得的答案。
三.动态规划的基本步骤
1.找出最优解的性质,并刻划其结构特征。即:寻找最优解的子问题结构。
2.递归地定义最优解。即:根据子问题的结构建立问题的递归解式,求解最优值。
3.以自底向上的方式计算出最优值。
4.根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。
四.例题分析——多个矩阵连乘模块设计
问题描述:
实现多个矩阵连乘功能
关键问题计算:
给定n个矩阵{},其中
与
是可乘的,考察这n个矩阵的连乘积
由于矩阵乘法满足结合律,所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该矩阵已完全加括号,则可以依此次序反复调用3个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积:
设有四个矩阵 A,B,C,D 维数分别为:
50*10;10*40;40*30;30*5
则总共有五种完全加括号的方式:
1)
(A((BC)D))
2)
(A(B(CD)))
3)
((AB)(CD))
4)
(((AB)C)D)
5)
((A(BC))D)
对于两个矩阵A(p*q)*B(q*r)(标准乘法计算):
void matrixMultiply(int *a,int *b,int *c,int ra,int ca,int rb,int cb){if(ca!=rb){cout<<"矩阵不可乘!"<<endl;}else{int i,j,k,n,sum=0;for(i=0;i<ra;i++){for(j=0;j<cb;j++){for(k=0;k<ca;k++){sum+=a[i*ca+k]*b[k*cb+j];}c[i*ra+j]=sum;sum=0;}}}
}
需要进行p*q*r次乘法计算!
矩阵连乘问题转化为:
确定矩阵连乘的计算次序,使得按照该次序计算矩阵连乘需要的数乘次数最少。
1.穷举法求解思路:
列举出所有可能的计算次序,并计算出每一种次序相应需要的数乘次数,从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
算法复杂度分析:
对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n)
由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号的问题
2.动态规划求解:
最优解结构分析:
将矩阵连乘积简记为:A[i:j],这里i<=j。
设这个计算次序在和
之间将矩阵断开,i<=k<j,则其相应的完全加括号的方式为:
()(
)
总计算量=A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量,再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量。
特征:计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
最优子结构性质:最优解包含其子问题的最优解。
建立递归关系:(m[i,j]表示最小连乘次数)
当i=j时,A[i:j]=,m[i,j]=0
当i<j时,m[i,j]={m[i,k]+m[k+1,j]+
}
则有:
(k的位置只有j-i种可能)
注:由于矩阵乘法中的列数和
的行数相等,则可以只用列数来化简表达式,这里的
均表示第i-1,k,j个矩阵的列数。n个矩阵的信息,只需要一个长度为n+1的数组来表示即可。
对于m[i][j]数组,只需要填入上三角中的元素即可(因为i<=j)。
五.代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
int BestValue(int row[],int col[], int n);
int main(int argc, const char * argv[]) {int row[]={3,4,6};int col[]={4,6,11};cout<<BestValue(row, col, 3);return 0;
}
int BestValue(int row[],int col[], int n){if(n<=0){cout<<"error";return 0;}int m[40][40];int i,j,k,r,sum;for(i=0;i<n-1;i++){if(col[i]!=row[i+1]){cout<<"error"<<endl;return 0;}}for(i=0;i<n;i++){m[i][i]=0;}for(r=1;r<n;r++){for(j=r;j<n;j++){i=j-r;sum=m[i][i]+m[i+1][j]+row[i]*col[i]*col[j];for(k=i;k<j;k++){if(sum>m[i][k]+m[k+1][j]+row[i]*col[k]*col[j]){sum=m[i][k]+m[k+1][j]+row[i]*col[k]*col[j];}}m[i][j]=sum;}}return m[0][n-1];
}
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