算法设计与分析2023秋-头歌实验-实验七 动态规划

第1关：数塔问题

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任务描述

本关任务：编写用动态规划解决数塔问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

求上图从顶层到顶层的一个路径，使路径上的数字和最大。要求输出最大的数字和max和数值和最大的路径。

解题思路

原始信息有层数和数塔中的数据，层数用一个整型变量n存储，数塔中的数据用二维数组data，存储成如下的下三角阵:

             912    1510    6     82     18    9    519    7     10   4   16

必需用二维数组d存储各阶段的决策结果。二维数组d的存储内容如下：、

  d[n][j]=data[n][j]，         j=1,2,……,n；d[i][j]=max(d[i+1][j]，d[i+1][j+1])+data[i][j]，   i=n-1,n-2,……1，j=1,2,……,i   

最后d[1][1]存储的就是问题的结果。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：

5
9
12    15
10    6     8
2    18     9    5
19    7     10   4   16

输出示例：

max=59
数值和最大的路径是：9->12->10->18->10

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参考答案

#include <stdio.h> 
#define N 5 //问题规模
int main() {int a[50][50];a[1][1] = 9;a[2][1] = 12, a[2][2] = 15;a[3][1] = 10, a[3][2] = 6, a[3][3] = 8;a[4][1] = 2, a[4][2] = 18, a[4][3] = 9, a[4][4] = 5;a[5][1] = 19, a[5][2] = 7, a[5][3] = 10, a[5][4] = 4, a[5][5] = 16;int i, j, dp[50][50] = { 0 }, path[50][50] = { 0 };for (j = 1; j <= N; j++)                           //初始子问题 ，倒数第二层（第i-1层）开始dp[N][j] = a[N][j];for (i = N - 1; i >= 1; i--)                       //进行第 i+1 层的决策，从i 到 1 向上for (j = 1; j <= i+1; j++) {                     //每一层有 i+1 个if (dp[i + 1][j] > dp[i + 1][j + 1]) {dp[i][j] = a[i][j] + dp[i + 1][j];path[i][j] = j;                        //本次决策选择下标j的元素}else {dp[i][j] = a[i][j] + dp[i + 1][j + 1];path[i][j] = j + 1;                     //本次决策选择下标j+1的元素}}printf("max=%d\n", dp[1][1]);printf("数值和最大的路径是：");            j = path[1][1];                          //计算dp[1][1]的选择for (i = 1; i < N; i++){printf("%d->", a[i][j]);j = path[i][j];                         //计算dp[i][j]的选择}printf("%d\n", a[i][j]);}
/********** End **********/

第2关：最长公共子序列

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决最长公共子序列问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

求字符串序列“ABCDBAB”和“BDCABA”的最长公共子序列

解题思路：

递推关系分析： 设 A=“a0，a1，…，am−1”，B=“b0，b1，…，bn−1”，Z=“z0,z1,…,zk−1” 为它们的最长公共子序列。 有以下结论： 1）如果am−1=bn−1,则zk−1=am−1=bn−1,且“z0,z1,…,zk−2”是“a0,a1,…,am−2”和“b0,b1,…,bn−2”的一个最长公共子序列； 2）如果am−1=bn−1，则若zk−1=am−1，蕴涵“z0，z1，…，zk−1”是“a0,a1,…,am−2”和“b0,b1,…,bn−1”的一个最长公共子序列； 3）如果am−1=bn−1，则若zk−1=bn−1，蕴涵“z0，z1，…，zk−1”是“a0，a1，…，am−1”和“b0，b1，…，bn−2”的一个最长公共子序列。 定义c[i][j]为序列“a0,a1,…,ai−1”和“b0,b1,…,bj−1”的最长公共子序列的长度，计算c[i][j]可递归地表述如下： 1）c[i][j]=0 如果i=0或j=0； 2）c[i][j]=c[i−1][j−1]+1 如果i,j>0,且a[i−1]=b[j−1]； 3）c[i][j]=max(c[i][j−1],c[i−1][j]) 如果i,j>0,且a[i−1]=b[j−1]。 由二维数组c的递归定义，c[i][j]的结果依赖于c[i−1][j−1]，c[i−1][j]和c[i][j−1]。可以从c[m][n]开始，跟踪c[i][j]结果的产生过程，从而逆向构造出最长公共子序列。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：

a=“ABCDBAB”
b=“BDCABA”

输出示例：

BCBA

参考答案

/*动态规划之最大子序列*/
#include <stdio.h>
int main()
{char A[7]={'A','B','C','B','D','A','B'};			char B[6]={'B','D','C','A','B','A'};int dp[8][7];						//dp数组记录最长公共子序列的长度 for(int i=0;i<7;i++)		//边界赋值为0 {dp[i][0]=0;}for(int i=0;i<8;i++){dp[0][i]=0;}// printf("test1=%d\n",dp[6][7]);for(int i=1;i<=7;i++){for(int j=1;j<=6;j++){if(A[i-1]==B[j-1])			//如果相等就dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; {dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j];   //取两者之间较大者；局部的最优值 }else{dp[i][j]=dp[i][j-1];} 	}}}char str[100];							//记录公共的字符int i=7,j=6;int count=0;while(i>0&&j>0){if(dp[i][j]==dp[i-1][j])			//往上遍历 {i--;}else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])		//往左遍历 {j--;}else{str[count++]=A[i-1];i--;j--;}}for(int i=count-1;i>=0;i--){printf("%c",str[i]);} }

第3关：求序列-2 11 -4 13 -5 -2的最大子段和

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决最大子段和问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

给定由n个整数（可能为负数）组成的序列：a1,a2,……,an, 求该序列的最大子段和。当所有整数均为负数，定义其最大子段和为0。

解题思路：

定义b[j]=max(a[i]+a[i+1]+…+a[j])，其中1<=i<=j，并且1<=j<=n。那么所求的最大子段和可以表示为max b[j]，1<=j<=n。 由b[j]的定义可知，当b[j−1]>0时b[j]=b[j−1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归表达式为: b[j]=max(b[j−1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出示例：

20

参考答案

#include <stdio.h>
/********** Begin **********/
int main(){int n;scanf("%d",&n);int a[n][2];int max=0;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i][0]);if(i==0){a[i][1]=a[i][0];}else{a[i][1]=a[i-1][1]+a[i][0]>a[i][0]?a[i-1][1]+a[i][0]:a[i][0];}max=max>a[i][1]?max:a[i][1];}printf("%d",max);return 0;}
/********** End **********/

第4关：求最长的单调递增子序列长度

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决求最长的单调递增子序列长度问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

给定一个长度为n的数组，找出一个最长的单调递增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为7的数组A5，6，7，1，2，8,9，则其最长的单调递增子序列为5，6，7，8，9，长度为5。求318714101223411624的最长的单调递增子序列长度。

解题思路：

设长度为n的数组为(a[0]，a[1],a[2],…，a[n−1])，则假定以a[j]结尾的数组序列的最长递增子序列长度为L(j)，则L(j)=max(L(i))+1,i<j且a[i]<a[j]。也就是说，我们需要遍历在j之前的所有位置i(从0到j−1)，找出满足条件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即为L(j)的值。最后，我们遍历所有的L(j)（从0到n−1），找出最大值即为最大递增子序列。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：

10
3 18 7 14 10 12 23 41 16 24

输出示例：

6

参考答案

#include <stdio.h>
/********** Begin **********/
int main(){int n;scanf("%d",&n);int m[n][3];m[0][1]=1;m[0][2]=0;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&m[i][0]);if(i!=0){m[i][1]=0;int k=i-1;while(k>=0){if(m[i][0]>m[k][0]){if(k==i-1){m[i][1]=m[k][1]+1;m[i][2]=k;}else{int max=m[k][1]+1;if(max>m[i][1]){m[i][1]=max;m[i][2]=k;	}}}k--;}if(k<0&&m[i][1]==0){m[i][1]=1;m[i][2]=i;}}}int max=m[0][1],j=0;for(int i=0;i<n;i++){if(m[i][1]>=max){max=m[i][1];j=i;}}printf("%d\n",max);
}
/********** End **********/

第5关：矩阵连乘问题

任务描述

本关任务：编写用动态规划解决矩阵连乘问题。

相关知识

为了完成本关任务，你需要掌握：动态规划。

编程要求

将矩阵连乘积AiAi+1…Aj简记为A[i:j]，其中i<=j。设在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，则其相应加括号为(AiAi+1…Ak) (Ak+1Ak+2…Aj)。A[i:j]的计算量等于三部分计算量之和： （1）A[i:k]的计算量， （2）A[k+1:j]的计算量， （3）A[i:k]与A[k+1:j]相乘的计算量。 设计算A[i:j]所需最少乘积数目为，则原问题的最优值为。 当i=j时,a[i:j]=Ai，因此，m[i][j]=0,i=1,⋅⋅⋅,n 当i<j时，m[i][j]=i<k<jmin{m[i][k]+m[k+1][j]+pi−1pkpj} 其中，矩阵Ai的矩阵数为pi−1×pi 矩阵A1的维度：p0p1=3035 矩阵A2的维度：p1p2=3515 矩阵A3的维度：p2p3=155 矩阵A4的维度：p3p4=510 矩阵A5的维度：p4p5=1020 矩阵A6的维度：p5p6=2025 求这6个矩阵连乘的最小相乘次数。

测试说明

平台会对你编写的代码进行测试：
测试输入：

6
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
20 25

输出示例：

m[1][6]=15125

参考答案

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/********** Begin **********/
int main(){int n;scanf("%d",&n);int a[n][2];int b[n][n]={0};for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d %d",&a[i][0],&a[i][1]);   }for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<n-i;j++){b[j][j+i]=b[j][j]+b[j+1][j+i]+a[j][0]*a[j][1]*a[j+i][1];         int k=j+1;for(;k<j+i;k++){int t=b[j][k]+b[k+1][j+i]+a[j][0]*a[k][1]*a[j+i][1];if(t<b[j][j+i]) {b[j][j+i]=t;}}}}printf("m[%d][%d]=%d",1,n,b[0][n-1]);return 0;
}
/********** End **********/