Laplace变换-3

回忆#常见函数的Laplace变换：

$t^{z-1}\mapsto \frac{\Gamma (z)}{s^z}$ （要求$\mathrm{Re}(z)>0$）

$e^{at}\mapsto \frac{1}{s-a}$

$\cosh (at)\mapsto \frac{s}{s^2-a^2}$ （要求$s>|\mathrm{Re}(a)|$） （$\cosh (at)=(1/2)(e^{at}+e^{-at})$ )

$\sinh (at)\mapsto \frac{a}{s^2{-}^2}$ （要求$s>|\mathrm{Im}(a)|$） ($\sinh (at)=(1/2)(e^{at}-e^{-at}$) )

$\cos (\omega t)\mapsto \frac{s}{s^2+{\omega }^2}$ （要求$\omega \in \mathbb{R}$）

$\sin (\omega t)\mapsto \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$ （要求$s>|\mathrm{Im}(\omega )|$） （Euler公式$e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega$）

平移公式：

$e^{at}{t}^{z-1}\mapsto \frac{\Gamma (z)}{(s-a{)}^z}$

$e^{at}\cos \omega t\mapsto \frac{s-a}{(s-a{)}^2+{\omega }^2}$ （要求$\omega \in \mathbb{R}$）

$e^{at}\sin \omega t\mapsto \frac{\omega }{(s-a{)}^2+{\omega }^2}$ （要求$a<s-|\mathrm{Im}(\omega )|$）

$tf(t)$的变换公式：

$t\cos \omega t\mapsto \frac{s^2-{\omega }^2}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$ （要求$\omega \in \mathbb{R}$）

$t\sin \omega t\mapsto \frac{2s\omega }{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$ （要求$a<s-|\mathrm{Im}(\omega )|$）

最后是Heaviside函数的变换公式：

$H(t-t_0)\mapsto \frac{e^{-t_{0}s}}{s}$ （要求$t_0\ge 0$）

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例：解ODE或IVP（初值问题）

1. $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$.
2. $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$.
3. $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }-2y^{\prime }+10y=0,\\ y(0)=0,y^{\prime }(0)=6.\end{array}$

回忆导函数的变换公式：$\{\begin{array}{l}[L{y}^{\prime \prime }](s)=s^{2}Y(s)-sy(0)-y^{\prime }(0),\\ [L{y}^{\prime }](s)=sY(s)-y(0).\end{array}$ 以下写$Y(s)=[Ly](s)$.

1. 左边的Laplace变换是$(s^2+3s+2)Y(s)-(s+3)y(0)-y^{\prime }(0)$. 特征方程出现了！
   解得$Y(s)=\frac{(s+3)y(0)+y^{\prime }(0)}{(s+1)(s+2)}=\frac{2y(0)+y^{\prime }(0)}{s+1}-\frac{y(0)+y^{\prime }(0)}{s+2}=\frac{C_1}{s+1}+\frac{C_2}{s+2}$.
   查表可知$(s+a{)}^{-1}$是$e^{-at}$的Laplace变换.
   所以$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}$.

2. 整理得到$(s^2+4s+4)Y(s)=(s+4)y(0)+y^{\prime }(0)$. 即$$Y(s)=\frac{(s+4)y(0)+y^{\prime }(0)}{(s+2{)}^2}=\frac{y(0)}{s+2}+\frac{2y(0)+y^{\prime }(0)}{(s+2{)}^2}.$$
   查表，知$(s+2{)}^{-1},(s+2{)}^{-2}$分别是$e^{-2x},x{e}^{-2x}$的Laplace变换.
   所以$y=C_1{e}^{-2x}+C_{2}x{e}^{-2x}$.

3. 求出$Y(s)=\frac{2\times 3}{(s-1{)}^2+3^2}$, 故$y=2e^x\cdot \sin (3x)$.

注：如果初值条件不是在$x=0$处给出，则用Laplace变换解此种IVP需要更多的技巧.

4. 考虑$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=(x-1)e^x,\\ y(1)=y^{\prime }(1)=1.\end{array}$
   特解是$y=(\frac{6-e}{6e}+\frac{x}{2})e^x+\frac{1}{6}{x}^3{e}^x-\frac{1}{2}{x}^2{e}^x$.
   注意此处的初值条件不是在自变量取0时给出，不能直接两边应用Laplace变换。 这个IVP可以这样求解：

设函数$f(t)$满足$f(x-1)=y(x)$. 注意$\frac{d^n}{d{x}^n}y(x)=\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)$, 所以原ODE化为$$f^{\prime \prime }(t)-2f^{\prime }(t)+f(t)=t{e}^{t}e.\text{\hspace{1em}(1)}$$而初值条件变为$f(0)=f^{\prime }(0)=1$.

对$(1)$两边应用Laplace变换：写$F(s)=[Lf](s)$, 应用初值条件，有$$(s-1{)}^{2}F(s)-s+1=e(s-1{)}^{-2}.$$由此可得$$F(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{e}{\Gamma (4)}\frac{\Gamma (4)}{(s-1{)}^4}.$$
查表可知$f(t)=(e/6)t^3{e}^t+e^t$. 所以原IVP的特解是$$y(x)=f(x-1)=\frac{(x-1{)}^3}{6}{e}^x+e^{x-1}.$$
这与一开始给出的特解相同。

注意：上述求解过程虽然给出了答案，但如果严格论证，需要用到平移性质2, 此处从略。

注：如果取$s=2\pi i\omega (\omega$是圆频率$)$, 则Laplace变换变成经典的Fourier变换：$$f(t)\mapsto \hat{f}(\omega )={\int }_0^{\infty }{e}^{-2\pi i\omega \cdot t}f(t)dt.$$
特别，Laplace变换与Fourier变换，都能够把函数的卷积，变换成乘法：函数$f,g$的卷积(convolution)定义为$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$$
不难证明$f\ast g=g\ast f$. 而$$[L(f\ast g)(t)](s)=[Lf](s)\cdot [Lg](s),(f\ast g)(t)\hat{}=\hat{f}(\omega )\cdot \hat{g}(\omega ).$$