线性三角化

点的线性三角化

• 输入一堆的点
  $$[R_{wc},t_{wc},p_{uc}]$$
• 转化成空间的一系列射线
  $$[P_{wi},t_{wi}],P_{wi}=t_{wc},t_{wi}=R_{wc}\times p_{uc}$$
• 点和射线之间的关系是
  $$P=P_i+d_i\times t_i$$
• 方程改写为
  $$[t_i{]}^{\times }P=ti\times P_i$$
• 方程的表达式为
  $$A=\left[\begin{array}{c}[t_1{]}^{\times }\\ ...\\ [t_n{]}^{\times }\end{array}\right]$$
  $$b=\left[\begin{array}{c}{t}_1\times P_1\\ ...\\ t_n\times P_n\end{array}\right]$$
  $$Ax=b$$

直线的线性三角化

• 输入一堆检测的线段
  $$[R_{cw},t_{cw},p_{uc1},p_{uc2}]$$
• 两条检测射线形成的面的法线
  $$\overrightarrow{n_c}=p_{uc1}\times p_{uc2}$$
• 直线上点的坐标形成的射线和法线是垂直的
  $$\begin{gathered} \overrightarrow{n_c}\times P_c=0 \\ \overrightarrow{n_c}\times (R_{cw}{P}_w+t_{cw})=0 \\ [\overrightarrow{n_c}{]}^{\times }{R}_{cw}{P}_w=-\overrightarrow{n_c}\times t_{cw} \end{gathered}$$
  KaTeX parse error: Expected '}', got '\end' at position 92: …\times}R_{cwn} \̲e̲n̲d̲{bmatrix}
  $$b=\left[\begin{array}{c}-\overrightarrow{n_{c1}}\times t_{cw1}\\ ...\\ -\overrightarrow{n_{cn}}\times t_{cwn}\end{array}\right]$$
  $$Ax=b$$