Games101学习笔记 Lecture16 Ray Tracing 4 (Monte Carlo Path Tracing)

一、蒙特卡洛积分 Monte Carlo Integration

• 为什么：用于解决难以求解的积分问题
• 是什么/怎么办：在x轴上随机采样积分，而不是均匀采样
  
• 函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$
• 随机变量 $X_i\sim p(x)$
• 得到蒙特卡洛积分为 $F_N=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{f(X_i)}{p(X_i)}$

二、路径追踪 Path tracing

1.Whitted-Style Ray Tracing’s Problems

• 只处理镜面或者透明物体的反射和折射，在漫反射时就停止了，忽略了物体之间的反射
• 在glossy金属材质时，不应该全部都反射
• 但是 渲染方程是对的
  • $L_r(p,{\omega }_r)$ = $L_e(p,{\omega }_o)$ + ${\int }_{{\Omega }^{+}}^{}{L}_r(p,-{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_r)(n\cdot {\omega }_i)d{w}_i$

2.只考虑直接光照时

• $L_o(p,{\omega }_o)$ = ${\int }_{{\Omega }^{+}}^{}{L}_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)d{w}_i$ 用蒙特卡罗积分求解 $F_N=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{f(X_i)}{p(X_i)}$
• f(x) 是 $L_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)$
• pdf（概率密度函数）是 “对半球进行采样” $p({\omega }_i)=\frac{1}{2\Pi }$
• 得到式子 $L_o(p,{\omega }_o)$ = $\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\frac{L_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)(n\cdot {\omega }_i)}{p({\omega }_i)}$ 是正确的直接光照公式
  

3.考虑全局光照

①考虑物体的反射光

• Q同样也反射光线到P上（方向上也相当于P到Q点的光）
  
• Q 的直接光照 = Q 到 P 的反射
• 但是这样做光线会有 指数级增长
  
• 假设只有一根光线时（只选择一个方向 ${\omega }_i$ ）
  
• 但递归需要停止，不然计算量无限增加（但又想保证质量）—— 俄罗斯轮盘赌 RR

②俄罗斯轮盘赌 RR （得到正确shade函数）

• 通过随机概率选择是否继续追踪光线，可以有效地控制光线数量，并避免能量损失过多
• 实现步骤
  • 设置一个概率 P
  • 以概率 P 发射光线：若随机数＜ P，则发射并计算光线亮度 Lo
  • 以概率 1-P 不发射光线：若随机数 ≥ P，不发射光线，认为亮度为0
  • 能量补偿：由于第三步会导致能量损失，为了弥补损失，需要将得到的光线亮度 Lo 除以 P，即 Lo/P，可以保证期望值不变
    

③射线生成（追踪足够多的path）

• 1.在 每个像素内均匀选择多个采样点
• 2.并为每个采样点发射一条光线，
• 3.然后使用路径追踪算法 计算每条光线的亮度
• 4.将他们 平均起来得到像素最终亮度
  

④对光源进行采样

• 由于光源相对于半球来说比较小，所以 每个采样点发射的光线中，只有很少一部分会击中光源（有很少的光会从光源击中半球上被采样到的点），用均匀采样会导致浪费
• 光源对场景的贡献亮度远远大于了其他方向，应该 更多地采样光源方向，提高效率

推导

• 假设光源面积为 A —— pdf = $\frac{1}{A}$
• 渲染方程在立体角上的积分 Lo = $\int Li\cdot fr\cdot cosd\omega$ —— 这个积分代表场景中一点的亮度Lo 是半球上 所有方向的光线亮度和反射率的积分
• 为了使用蒙特卡洛积分来估计场景中一点的亮度Lo，我们需要将渲染方程转化为对光源的积分
• 数学的转化，需要找到 立体角 dω 和光源表面积 dA 之间的关系 —— 光源面积立体角方向在球面上的投影
• 立体角的求法：球面面积法 $\omega =S/r^2$ —— $d\omega =\frac{dAcos{\theta }^{\prime }}{|x^{\prime }-x{|}^2}$
  
• 此时重写渲染方程 Lo = ${\int }_A^{}{L}_i(x,{\omega }_i)f_r(x,{\omega }_i,{\omega }_o)\frac{cos\theta cos{\theta }^{\prime }}{|x^{\prime }-x{|}^2}dA$
• 可以写出蒙特卡洛积分 f(x) = $L_i(x,{\omega }_i)f_r(x,{\omega }_i,{\omega }_o)\frac{cos\theta cos{\theta }^{\prime }}{|x^{\prime }-x{|}^2}$，pdf = 1/A

⑤结束

• 来自于光源的进行光源采样，计算直接光照；其他非光源的就需要RR，计算间接光照
  
• 还得判断光源有没有被遮挡