算法学习笔记（8）-动态规划基础篇

目录

基础内容：

动态规划：

动态规划理解的问题引入：

解析：（暴力回溯）

代码示例：

暴力搜索：

Dfs代码示例：（搜索）

暴力递归产生的递归树：

记忆化搜索：

代码示例：

动态规划：

代码示例：（动态规划，从最小子问题开始）

执行过程（动态规划）：

解析：（动态规划）

空间优化：

代码示例：

解析：

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基础内容：

什么是动态规划，动态规划作为一种手段可以解决哪些问题，动态规划的分类，以及具体的分类可以解决的具体问题的分类。

动态规划：

是一个重要的算法范式，它将一个问题分解成一系列更小的子问题，并通过存储子问题解避免重复计算，从而大幅度提升时间效率。

动态规划理解的问题引入：

通过爬楼梯的案例来引入这个问题，给定一个共有n阶的楼梯，你每步可以上1阶或者2阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。

解析：（暴力回溯）

本题目的目标是求解方案数量，我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上一阶或者二阶，每当达到楼梯顶部时就将方案数量加1，当越过楼梯顶部就将其剪枝。

代码示例：

# python代码示例
def backrack(choices,state,n,res) :if state == n :res[0] += 1 for choice in choices :if state + choice > n :continuebackrack(choices,state+choice,n,res)
def climbing_stairs_backrack(n) :choices = [1,2]state = 0res = [0]backrack(choices,state,n,res)return res[0]
n = int(input())
print(climbing_stairs_backrack(n))

// c++代码示例
void backrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res)
{if (state == n ){res[0]++ ;}for (auto &choice : choices){if (state + choice > n){continue ;}backrack(choices, state + choice, n, res)}
}int climbingStairsBackrack(int n)
{    vector<int> choices = {1 , 2 } ;int state = 0 ;vector<int> res = [0] ;backrack(choices, state, n, res) ;return res[0] ;
}

暴力搜索：

回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。

我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第i阶共有dp[i]中方案，那么dp[i]就是原问题，其子问题包括：

dp[i-1]，dp[i-2]，dp[1]，dp[2]

由于每轮只能上1阶或者2阶，因此当我们站在第i阶楼梯上时，上一轮只可能站在第i-1或者i-2台阶上。换句话说，我们只能从第i-1阶或者第i-2阶迈向第i阶。

由此便可以得出一个重要的推论：爬到第i-1阶的方案加上爬到第i-2阶的方案数就等于爬到第i阶的方案数。公式如下：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

这就意味着，爬楼问题中存在着递推的关系，原问题可由子问题的解构建来得到解决

Dfs代码示例：（搜索）

# python 代码示例
def dfs(i : int) -> int :if i == 1 or i == 2 :return icount = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)return count
def climbing_stairs_dfs(n : int) -> int :retunr dfs(n)

// c++ 代码示例
int dfs(int i)
{if (i == 1 || i == 2){return i ;}int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);return count ;
}
int climbingStairsDFS(int n)
{retunr dfs(n) ;
}

暴力递归产生的递归树：

解决上述递归树中的重复问题，采用记忆化搜索的方式，可以把大量重复构建的相同子树进行去掉，从而达到提高计算效率。（重叠子问题）

记忆化搜索：

将所有重叠的子问题只进行一遍计算，需要声明一个数组nem来记录每个子问题的解，并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。

1. 当首次计算dp[i]时，将其记录在nem[i]，便于后续的使用
2. 当再次计算dp[i]时，直接在nem[i]中进行获取结果，避免重复子问题的计算。

代码示例：

# python 代码示例
def dfs(i : int, mem : list[int]) -> int :if i == 1 or i == 2 :return iif mem[i] != -1 :return mem[i]count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)# 记录dfs(i)mem[i] = countreturn count
def climbing_stairs_dfs_mem(n : int) -> int :mem = [-1] * (n + 1)return dfs(n, mem)

// c++ 代码示例
int dfs(int i, vector<int> &mem)
{if (i == 1 || i == 2){return i ;}if (mem != -1){return mem[i] ;}int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem) ;mem[i] = count ;return count ;
}
int climbingStairsDFSMem(int n)
{vector<int> mem(n + 1, -1) ;return dfs(n, mem) ; 
}

经过记忆化处理后，所有重叠的子问题都只计算一次，时间复杂度优化到了O(n)

动态规划：

记忆化搜索是一种”从顶至低”的方法，我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解成较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）。之后，通过回溯逐层收集子问题的解，构建出原问题的解。

与之相反，动态规划是一种“从底至顶”方法：从最小子问题的解开始，迭代地构建更大子问题的解，直至得到原问题的解。

由于动态规划不包含回溯过程，因此只需要使用循环迭代实现，无须使用递归。

代码示例：（动态规划，从最小子问题开始）

# python 代码示例
def clibing_stairs_dp(n) :if n == 1 or n == 2 :return ndp = [0] * (n + 1)dp[1], dp[2] = 1, 2for i in range(3,n + 1) :dp[i] = dp[i-1] + dp[i- 2]return dp[n]

// c++ 代码示例int climbingStairsDP(int n) 
{if (n == 1 || n == 2){retunr n ;}vector<int> dp(n + 1, -1) ;dp[1] = 1 ;    dp[2] = 2 ;for (int i = 3 ; i <= n ; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i- 2] ;}return dp[n] ;
}

执行过程（动态规划）：

解析：（动态规划）

相似于回溯算法，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例：爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯的阶数i

根据以上内容，我们可以总结为动态术语的常用术语：

1. 将数组dp称为{dp表}，dp[i]表示状态i对应子问题的解
2. 将最小子问题对应的状态，（第一阶和第二阶楼梯）称为初始状态
3. 将递推公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]称为状态方程

空间优化：

dp[i] 只跟 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有关

无须使用一个数组来存储所有子问题的解，只需要两个变量滚动前进即可。

代码示例：

# python 代码示例
def clibing_stairs_dp_comp(n) :if n == 1 or n == 2 :return na, b = 1, 2for _ in range(3, n + 1) :a, b = b , a + breturn b

// c++ 代码示例
int climbingStairsComp(int n) 
{if (n == 1 || n == 2){return n ;}int a = 1 , b = 2 ;for (int i = 3 ; i <= n ; i++){int temp = b ;b = a + b ;a = temp ;}return b ;
}

解析：

省去了数组dp所占用的空间，空间复杂度由O(n)降为O(1)

在动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，这时我们可以只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。这种空间优化技巧被称为“滚动变量”或“滚动数组”。