Python实现傅里叶级数可视化工具

Python实现傅里叶级数可视化工具

flyfish

有matlab实现，我没matlab，我有Python，所以我用Python实现。
整个工具的实现代码放在最后,界面使用PyQt5开发

起源

傅里叶级数（Fourier Series）由法国数学家和物理学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在19世纪初提出。他最初是为了研究热传导问题，发现任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。这一发现对数学、物理学以及工程学等领域产生了深远影响。

思想

傅里叶级数的核心思想是将一个复杂的周期函数分解成无穷多个简单的正弦和余弦函数的叠加。这些正弦和余弦函数称为“基函数”，每个基函数都有特定的频率、幅度和相位。

公式

对于一个周期为 $T$ 的周期函数 $f(t)$，其傅里叶级数表示为：$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right)$$
其中：

• $a_0$ 是直流分量（平均值），计算公式为：
  $a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$
• $a_n$ 和 $b_n$ 是傅里叶系数，计算公式分别为：
  $$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$$
  $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$$

想象一首音乐，这首音乐是由许多不同频率的音符组成的。傅里叶级数就像是一种工具，它可以将这首音乐分解成一个个单独的音符（正弦和余弦函数）。通过这些音符的频率和振幅，可以重建出原来的音乐。

正交函数

在数学中，两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在定义域 $[a,b]$ 上被称为正交的（orthogonal），如果它们的内积为零。内积通常定义为：$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$当 $⟨f,g⟩=0$ 时，表示函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上是正交的。正交函数有一个重要性质，即它们在某种意义上“互不干扰”。

正交函数集

正交函数集是一组两两正交的函数集合。即对于函数集 { ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , … , ϕ n ( x ) } \{ \phi_1(x), \phi_2(x), \ldots, \phi_n(x) \} {ϕ1​(x),ϕ2​(x),…,ϕn​(x)}，满足：$⟨{\varphi }_i,{\varphi }_j⟩={\int }_a^b{\varphi }_i(x){\varphi }_j(x)dx=0\text{当 }i\ne j$
如果这组函数不仅仅是正交的，并且每个函数的内积等于一个常数（通常为1），则称为正交规范函数集（orthonormal set）。

完备正交函数集

完备正交函数集是一个正交函数集，其中的函数数目足够多，可以表示定义域 $[a,b]$ 上的任意函数。具体来说，任何在该定义域上的平方可积函数（即满足 ${\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx<\infty$ 的函数）都可以表示为这个正交函数集的线性组合。用数学语言来说，函数 $f(x)$ 可以表示为完备正交函数集 { ϕ n ( x ) } \{\phi_n(x)\} {ϕn​(x)} 的线性组合：$f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n{\varphi }_n(x)$其中系数 $c_n$ 是通过内积计算得到的：$$c_n=\frac{⟨f,{\varphi }_n⟩}{⟨{\varphi }_n,{\varphi }_n⟩}$$

在均方误差为零的情况下，任何与完备正交函数集有相同定义域的函数都可以分解为该函数集中正交函数的代数和

均方误差（Mean Squared Error, MSE）是用来衡量一个函数 $f(x)$ 与其近似表示 $\hat{f}(x)$ 之间的误差的标准。在函数分解中，如果一个函数 $f(x)$ 可以通过完备正交函数集 { ϕ n ( x ) } \{\phi_n(x)\} {ϕn​(x)} 的代数和精确表示，那么均方误差为零。也就是说：$$\text{MSE}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b|f(x)-\hat{f}(x){|}^{2}dx=0$$当均方误差为零时，表示函数 $f(x)$ 可以精确地分解为完备正交函数集中的函数的代数和：$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{\varphi }_n(x)$$这个结论的意义在于，完备正交函数集提供了一种强大的工具，可以表示定义域 $[a,b]$ 上的任意函数，而不会有任何误差。

解释 展开

傅里叶级数是将一个周期函数展开成一系列正弦函数和余弦函数的和，其基本形式可以表示为：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$$
其中，$T$ 是周期，$a_0$, $a_n$, $b_n$ 是傅里叶系数，通过以下公式计算：
$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)dx$$

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)\cos \left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$$

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)\sin \left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$$

具体例子：方波函数

方波函数是一个常见的周期函数，可以用傅里叶级数展开。假设我们有一个周期为 $T=2\pi$ 的方波函数 $f(x)$，定义如下：$$\{\begin{array}{ll}1& \text{for }0<x<\pi \\ -1& \text{for }\pi <x<2\pi \end{array}$$
我们将这个函数展开为傅里叶级数。

计算傅里叶系数

1. 计算 ( a_0 )：
   $$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)dx$$
   由于$f(x)$在 $[0,\pi ]$ 上为 1，在 $[\pi ,2\pi ]$ 上为 -1：
   $$a_0=\frac{1}{2\pi }\left({\int }_0^{\pi }1dx+{\int }_{\pi }^{2\pi }-1dx\right)$$
   $$a_0=\frac{1}{2\pi }\left(\pi -\pi \right)=0$$
2. 计算 ( a_n )：
   $$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos (nx)dx$$
   由于 $f(x)$是奇函数（关于$x=\pi$ 对称），且 ($cos(nx)$) 是偶函数，奇函数与偶函数的内积为零：
   $a_n=0$
3. 计算 ( b_n )：
   $$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\sin (nx)dx$$
   同样地，将积分分为两部分：
   $$b_n=\frac{1}{\pi }\left({\int }_0^{\pi }\sin (nx)dx+{\int }_{\pi }^{2\pi }-\sin (nx)dx\right)$$
   由于 $sin(nx)$ 在 $[\pi ,2\pi ]$ 上的负值正好抵消$([0,\pi ]$上的值：
   $$b_n=\frac{1}{\pi }\left({\int }_0^{\pi }\sin (nx)dx-{\int }_0^{\pi }\sin (nx)dx\right)$$
   $$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (nx)dx$$
   计算这个积分，结果是：

$$b_n=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi }& \text{for odd }n\\ 0& \text{for even }n\end{array}$$

得到傅里叶级数展开

将 ( a_0 ), ( a_n ), ( b_n ) 代入傅里叶级数的基本形式，我们得到方波的傅里叶级数展开：
$$f(x)=\sum _{\text{odd }n}\frac{4}{n\pi }\sin (nx)$$
具体地，考虑前几项，我们可以写成：
$$f(x)\approx \frac{4}{\pi }\sin (x)+\frac{4}{3\pi }\sin (3x)+\frac{4}{5\pi }\sin (5x)+\dots$$

整个工具的代码实现

import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_qt5agg import FigureCanvasQTAgg as FigureCanvas
from matplotlib.figure import Figure
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from PyQt5.QtWidgets import QApplication, QMainWindow, QWidget, QVBoxLayout, QHBoxLayout, QPushButton, QSlider, QLabel, QLineEdit, QGridLayout
from PyQt5.QtCore import Qtplt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseclass FourierSeriesVisualizer(QMainWindow):def __init__(self):super().__init__()self.setWindowTitle("傅里叶级数可视化工具")self.setGeometry(100, 100, 1200, 800)self.central_widget = QWidget(self)self.setCentralWidget(self.central_widget)self.layout = QGridLayout(self.central_widget)# 创建二维图形区self.figure_2d, self.ax_2d = plt.subplots()self.canvas_2d = FigureCanvas(self.figure_2d)self.layout.addWidget(self.canvas_2d, 0, 0)# 创建三维图形区self.figure_3d = Figure()self.ax_3d = self.figure_3d.add_subplot(111, projection='3d')self.canvas_3d = FigureCanvas(self.figure_3d)self.layout.addWidget(self.canvas_3d, 0, 1)# 创建控制面板self.control_panel = QHBoxLayout()self.label_n = QLabel("傅里叶级数次数：", self)self.control_panel.addWidget(self.label_n)self.slider_n = QSlider(Qt.Horizontal, self)self.slider_n.setRange(1, 50)self.slider_n.setValue(10)self.slider_n.valueChanged.connect(self.update_plot)self.control_panel.addWidget(self.slider_n)self.label_custom_n = QLabel("自定义次数：", self)self.control_panel.addWidget(self.label_custom_n)self.input_custom_n = QLineEdit(self)self.input_custom_n.setPlaceholderText("输入次数")self.control_panel.addWidget(self.input_custom_n)self.button_apply = QPushButton("确定", self)self.button_apply.clicked.connect(self.apply_custom_n)self.control_panel.addWidget(self.button_apply)self.button_reset = QPushButton("重置", self)self.button_reset.clicked.connect(self.reset)self.control_panel.addWidget(self.button_reset)self.button_dynamic = QPushButton("查看傅里叶级数动态拟合过程", self)self.button_dynamic.clicked.connect(self.view_dynamic_process)self.control_panel.addWidget(self.button_dynamic)self.layout.addLayout(self.control_panel, 1, 0, 1, 2)# 初始绘图self.update_plot()def compute_fourier_series(self, t, T, N):f_t = np.sign(np.sin(2 * np.pi * t / T))a0 = 2 * np.mean(f_t)an = np.zeros(N)bn = np.zeros(N)for n in range(1, N+1):an[n-1] = 2 * np.mean(f_t * np.cos(2 * np.pi * n * t / T))bn[n-1] = 2 * np.mean(f_t * np.sin(2 * np.pi * n * t / T))return a0, an, bndef reconstruct_signal(self, t, T, a0, an, bn, N):f_reconstructed = a0 / 2for n in range(1, N+1):f_reconstructed += an[n-1] * np.cos(2 * np.pi * n * t / T) + bn[n-1] * np.sin(2 * np.pi * n * t / T)return f_reconstructeddef update_plot(self):N = self.slider_n.value()t = np.linspace(0, 2, 500)T = 2a0, an, bn = self.compute_fourier_series(t, T, N)f_reconstructed = self.reconstruct_signal(t, T, a0, an, bn, N)self.ax_2d.clear()self.ax_2d.plot(t, np.sign(np.sin(2 * np.pi * t / T)), label='原始信号（方波）')self.ax_2d.plot(t, f_reconstructed, label=f'重构信号（傅里叶级数 N={N}）')self.ax_2d.set_title('方波的傅里叶级数展开')self.ax_2d.set_xlabel('时间')self.ax_2d.set_ylabel('幅度')self.ax_2d.legend()self.ax_2d.grid(True)self.ax_2d.set_ylim(-1.5, 1.5)self.canvas_2d.draw()self.update_3d_plot(a0, an, bn, N, T)def update_3d_plot(self, a0, an, bn, N, T):t = np.linspace(0, 2, 500)f_reconstructed = self.reconstruct_signal(t, T, a0, an, bn, N)self.ax_3d.clear()self.ax_3d.plot(t, f_reconstructed, zs=0, zdir='y', label='重构信号', color='b')for n in range(1, N+1):component = an[n-1] * np.cos(2 * np.pi * n * t / T) + bn[n-1] * np.sin(2 * np.pi * n * t / T)self.ax_3d.plot(t, component, zs=n, zdir='y', label=f'谐波 {n}')self.ax_3d.set_xlabel('时间')self.ax_3d.set_ylabel('谐波')self.ax_3d.set_zlabel('幅度')self.ax_3d.legend(loc='upper left')self.canvas_3d.draw()def apply_custom_n(self):try:custom_n = int(self.input_custom_n.text())if custom_n > 0:self.slider_n.setValue(custom_n)except ValueError:passdef reset(self):self.slider_n.setValue(10)self.input_custom_n.clear()def view_dynamic_process(self):for n in range(1, self.slider_n.value() + 1):self.slider_n.setValue(n)QApplication.processEvents()self.update_plot()if __name__ == "__main__":app = QApplication(sys.argv)main_window = FourierSeriesVisualizer()main_window.show()sys.exit(app.exec_())