数学建模-Topsis（优劣解距离法）

介绍

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法 TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息， 其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出TOPSIS (Technique for  Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理 想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。 TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的 信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。 基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理） 得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指 标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分 别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对 象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法 对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行

为什么要用这个东西？

当给出一组数据时，比如一个宿舍有小明、小红、小刚、小智四个人，他们的高数分别考了60、72、66、99，那么对应的排名就是4、2、3、1，修正后的排名就是：1，3，2，4，则排名的权重就是（4 + 2 + 3 + 1 = 10）：1 / 10 = 0.4、3 / 10 = 0.3、2 / 10 = 0.2、4 / 10 = 0.4，虽然说小智的权重确实是最高的，但是你能通过这个权重看出差距吗？很明显不行，明明小智同学考了99分非常优秀远远超过的小明同学的60分，但是权重就是0.4和0.1，无论最后一名考多少分都是这个权重，无法得出他们之前的真实的差距，咦，这时候Topsis就有用了，请继续往下看

量纲

极大型：

如果是上述成绩或者GDP这类的例子，得分越高越好，那么就称其为极大型指标

极小型：

如果是某个工厂产生的污染，那么就是污染越少越好，称这样的指标为极小型指标

中间型：

大家可以回忆一下初高中学的化学知识，就比如中和反应，是不是ph越接近7越好啊，这时候的ph值就是中间型指标

区间型：

还是以化学实验为例子，中等氧水体：溶解氧浓度在4-8毫克/升之间。这个区间内，水体中的大多数生物仍然可以正常进行呼吸活动，但可能在高温或其它压力下会有些许限制。这时候含氧量就是一个区间型指标了

如何计算得分？

x - min / (x - min) + (x + max)

就是x与最小值之间的距离 / x与最小值之间的距离 + x与最大值之间的距离

那么到此对这个模型的基本介绍就结束了，下面给出py的模板

Topsis的python代码模板：

import numpy as np  # 导入numpy包并将其命名为np##定义正向化的函数
def positivization(x,type,i):
# x：需要正向化处理的指标对应的原始向量
# typ：指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）
# i：正在处理的是原始矩阵的哪一列if type == 1:  #极小型print("第",i,"列是极小型，正向化中...")posit_x = x.max(0)-xprint("第",i,"列极小型处理完成")print("--------------------------分隔--------------------------")return posit_xelif type == 2:  #中间型print("第",i,"列是中间型")best = int(input("请输入最佳值："))m = (abs(x-best)).max()posit_x = 1-abs(x-best)/mprint("第",i,"列中间型处理完成")print("--------------------------分隔--------------------------")return posit_xelif type == 3:  #区间型print("第",i,"列是区间型")a,b = [int(l) for l in input("按顺序输入最佳区间的左右界，并用逗号隔开：").split(",")]m = (np.append(a-x.min(),x.max()-b)).max()x_row = x.shape[0]  #获取x的行数posit_x = np.zeros((x_row,1),dtype=float)for r in range(x_row):if x[r] < a:posit_x[r] = 1-(a-x[r])/melif x[r] > b:posit_x[r] = 1-(x[r]-b)/melse:posit_x[r] = 1print("第",i,"列区间型处理完成")print("--------------------------分隔--------------------------")return posit_x.reshape(x_row)## 第一步：从外部导入数据
#注：保证表格不包含除数字以外的内容
x_mat = np.loadtxt('20条河流的水质情况数据.csv', encoding='UTF-8-sig', delimiter=',')  # 推荐使用csv格式文件## 第二步：判断是否需要正向化
n, m = x_mat.shape
print("共有", n, "个评价对象", m, "个评价指标")
judge = int(input("指标是否需要正向化处理，需要请输入1，不需要则输入0："))
if judge == 1:position = np.array([int(i) for i in input("请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第1、3、4列需要处理，则输入1,3,4").split(',')])position = position-1typ = np.array([int(j) for j in input("请按照顺序输入这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）格式同上").split(',')])for k in range(position.shape[0]):x_mat[:, position[k]] = positivization(x_mat[:, position[k]], typ[k], position[k])print("正向化后的矩阵：", x_mat)## 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
tep_x1 = (x_mat * x_mat).sum(axis=0)  # 每个元素平方后按列相加
tep_x2 = np.tile(tep_x1, (n, 1))  # 将矩阵tep_x1平铺n行
Z = x_mat / ((tep_x2) ** 0.5)  # Z为标准化矩阵
print("标准化后的矩阵为：", Z)## 第四步：计算与最大值和最小值的距离，并算出得分
tep_max = Z.max(0)  # 得到Z中每列的最大值
tep_min = Z.min(0)  # 每列的最小值
tep_a = Z - np.tile(tep_max, (n, 1))  # 将tep_max向下平铺n行,并与Z中的每个对应元素做差
tep_i = Z - np.tile(tep_min, (n, 1))  # 将tep_max向下平铺n行，并与Z中的每个对应元素做差
D_P = ((tep_a ** 2).sum(axis=1)) ** 0.5  # D+与最大值的距离向量
D_N = ((tep_i ** 2).sum(axis=1)) ** 0.5
S = D_N / (D_P + D_N)  # 未归一化的得分
std_S = S / S.sum(axis=0)
sorted_S = np.sort(std_S, axis=0)

提示：此代码是适用于csv文件的如果是xlsx的话需要转csv的，请参考一下代码

import pandas as pd# 1. 从Excel文件读取数据
excel_file = '20条河流的水质情况数据.xlsx'  # 输入的Excel文件名
sheet_name = 'Sheet1'  # Excel文件中的工作表名称try:df = pd.read_excel(excel_file, sheet_name=sheet_name)print(f"成功从 '{excel_file}' 中读取数据。")
except FileNotFoundError:print(f"文件 '{excel_file}' 未找到。请检查文件路径和文件名是否正确。")exit(1)
except Exception as e:print(f"读取文件 '{excel_file}' 发生错误：{e}")exit(1)# 2. 将数据保存为CSV文件
csv_file = '20条河流的水质情况数据.csv'  # 输出的CSV文件名try:df.to_csv(csv_file, index=False, encoding='utf-8-sig')  # 使用utf-8-sig编码格式print(f"成功将数据保存到 '{csv_file}'。")
except Exception as e:print(f"保存文件 '{csv_file}' 发生错误：{e}")exit(1)print("转换完成。")

加油