禁忌搜索算法（Tabu Search，TS）及其Python和MATLAB实现

禁忌搜索算法是一种现代启发式搜索方案，主要用于解决组合优化问题。该算法由George F. Lugeral于1986年首次提出，旨在增强局部搜索算法的性能，避免其陷入局部最优解。禁忌搜索利用一个称为“禁忌表”的数据结构，记住最近访问的解决方案，从而禁止在短期内回到这些解，借此探索更广泛的解空间并寻求更优解。

### 一、背景

在许多组合优化问题中，比如旅行商问题、调度问题、背包问题等，寻找最优解往往是非常复杂的。传统的启发式算法，如爬山算法，往往容易陷入局部最优解，导致整体解的优化性能不足。禁忌搜索在此背景下应运而生，目的在于通过记忆和策略来引导搜索过程，从而跳出局部最优化的困境，接近全局最优解。

### 二、原理

禁忌搜索算法的核心思想是利用禁忌表记录近期的解，在搜索过程中避免再次访问这些解。该算法可视为改进的局部搜索，允许进行“非对称”的搜索，即尽管某些解在短期内被禁止，算法仍可以探索其他潜在的解。

#### 1. 解决方案表示
通常用一个向量或一个集合表示问题的解。例如，在旅行商问题中，可以用一个城市的排列来表示一个路线解。

#### 2. 邻域结构
一个解决方案的邻域是通过对当前解进行小的变更而形成的一组解决方案。邻域结构的设计非常重要，它直接影响到搜索的效率和效果。

#### 3. 禁忌表
禁忌表是禁忌搜索的重要组成部分，主要用于记录一定数量的“禁忌”解。它通常采用先进先出（FIFO）策略，删除最早的纪录，以保持大小恒定。禁忌表的长度是一个参数，影响着算法的性能。

#### 4. 目标函数
目标函数用于评估每个解决方案的质量。禁忌搜索算法通过最大化或最小化目标函数，来引导搜索过程。

### 三、实现过程

禁忌搜索的实现过程一般包括以下几个步骤：

#### 1. 初始化
- 选定初始解，并计算其目标函数值。
- 初始化禁忌表为空。
- 设定禁忌表的大小和最大迭代次数。

#### 2. 主循环
在指定的迭代次数内执行以下步骤：

- **邻域生成**：根据当前解生成解的邻域。
- **评估邻域解**：计算邻域中所有解的目标函数值，并找出最优解。
- **禁忌检查**：检查该邻域解是否在禁忌表中。如果是，则判断是否是最优解；如果不是，则更新当前解为邻域最优解。
- **更新禁忌表**：将当前解或某个特定的属性（如交换的元素）加入禁忌表，确保在之后的搜索中不再回到该解。
- **记录最优解**：如果当前解优于历史记录，更新最优解。
  
#### 3. 终止条件
- 根据事先设定的终止条件，如达到最大迭代次数或在一定时间内未找到新解，来结束搜索。

#### 4. 输出结果
- 输出最优解及其目标函数值。

### 四、流程示意图

```
开始 → 初始化 (初始解、目标函数、禁忌表) →
  ↓
主循环 (达到最大迭代次数？)
  ↙               ↘
是                否
  ↓                ↓
输出结果       邻域生成 →
                评估邻域解 →
                禁忌检查 →
                更新禁忌表 →
                记录最优解 →
                返回主循环
```

### 五、算法性能分析

禁忌搜索算法的性能常常取决于多个因素，如禁忌表的大小、邻域结构的设计以及目标函数的计算复杂度。良好的邻域结构和适当的禁忌表大小能够在巨大的解空间中有效地引导搜索过程。此外，禁忌搜索的多样性和灵活性使其可以与其他算法（如遗传算法、模拟退火等）结合，形成混合算法。

### 六、应用领域

禁忌搜索被广泛应用于各种领域，包括但不限于：

1. **旅行商问题**：解决路径最优化。
2. **调度问题**：如制造与任务调度。
3. **资源分配**：最大化利益或最小化成本。
4. **图着色问题**：解决图的最小着色问题。
5. **路径规划**：自动驾驶与机器人导航等领域。

### 七、结论

禁忌搜索算法是一种强大的优化工具，能够有效地解决大量组合优化问题。通过使用禁忌表、邻域结构等机制，它克服了传统局部搜索的局限性，探索更广泛的解空间。禁忌搜索算法的灵活性及其与其他方法的结合能力，使得其在实际应用中具有重要的价值。随着计算技术的发展，禁忌搜索算法仍将继续在各类优化问题中发挥重要作用。

 

Python：

import numpy as np  

 

class TabuSearch:  

    def __init__(self, objective_function, initial_solution, tabu_size, max_iterations):  

        self.objective_function = objective_function  

        self.current_solution = initial_solution  

        self.best_solution = initial_solution  

        self.tabu_list = []  

        self.tabu_size = tabu_size  

        self.max_iterations = max_iterations  

 

    def find_neighbors(self, solution):  

        neighbors = []  

        # Example of generating neighbors by swapping two elements  

        for i in range(len(solution)):  

            for j in range(i + 1, len(solution)):  

                neighbor = solution.copy()  

                neighbor[i], neighbor[j] = neighbor[j], neighbor[i]  

                neighbors.append(neighbor)  

        return neighbors  

 

    def run(self):  

        for _ in range(self.max_iterations):  

            neighbors = self.find_neighbors(self.current_solution)  

            best_neighbor = None  

            best_value = float('inf')  

 

            for neighbor in neighbors:  

                if neighbor not in self.tabu_list:  

                    neighbor_value = self.objective_function(neighbor)  

                    if neighbor_value < best_value:  

                        best_value = neighbor_value  

                        best_neighbor = neighbor  

 

            if best_neighbor is not None:  

                self.current_solution = best_neighbor  

                if self.objective_function(self.current_solution) < self.objective_function(self.best_solution):  

                    self.best_solution = self.current_solution  

 

                self.tabu_list.append(self.current_solution)  

                if len(self.tabu_list) > self.tabu_size:  

                    self.tabu_list.pop(0)  

 

        return self.best_solution, self.objective_function(self.best_solution)  

 

 

# Example usage  

def objective_function(solution):  

    return sum(solution) # Minimize the sum for example  

 

initial_solution = [3, 1, 4, 1, 5]  

tabu_search = TabuSearch(objective_function, initial_solution, tabu_size=5, max_iterations=100)  

best_solution, best_value = tabu_search.run()  

 

print("Best Solution:", best_solution)  

print("Best Value:", best_value)

 

MATLAB：

classdef TabuSearch  

    properties  

        objective_function  

        current_solution  

        best_solution  

        tabu_list  

        tabu_size  

        max_iterations  

    end  

    

    methods  

        function obj = TabuSearch(objective_function, initial_solution, tabu_size, max_iterations)  

            obj.objective_function = objective_function;  

            obj.current_solution = initial_solution;  

            obj.best_solution = initial_solution;  

            obj.tabu_list = {};  

            obj.tabu_size = tabu_size;  

            obj.max_iterations = max_iterations;  

        end  

        

        function neighbors = find_neighbors(obj, solution)  

            neighbors = [];  

            n = length(solution);  

            % Generate neighbors by swapping two elements  

            for i = 1:n  

                for j = i+1:n  

                    neighbor = solution;  

                    neighbor([i, j]) = neighbor([j, i]);  

                    neighbors = [neighbors; neighbor];  

                end  

            end  

        end  

        

        function [best_solution, best_value] = run(obj)  

            for iter = 1:obj.max_iterations  

                neighbors = obj.find_neighbors(obj.current_solution);  

                best_neighbor = [];  

                best_value = Inf;  

                

                for i = 1:size(neighbors, 1)  

                    neighbor = neighbors(i, :);  

                    if ~ismember(neighbor, obj.tabu_list, 'rows')  

                        neighbor_value = obj.objective_function(neighbor);  

                        if neighbor_value < best_value  

                            best_value = neighbor_value;  

                            best_neighbor = neighbor;  

                        end  

                    end  

                end  

                

                if ~isempty(best_neighbor)  

                    obj.current_solution = best_neighbor;  

                    if obj.objective_function(obj.current_solution) < obj.objective_function(obj.best_solution)  

                        obj.best_solution = obj.current_solution;  

                    end  

                    

                    obj.tabu_list{end+1} = obj.current_solution; %#ok<*AGROW>  

                    if length(obj.tabu_list) > obj.tabu_size  

                        obj.tabu_list(1) = [];  

                    end  

                end  

            end  

            best_solution = obj.best_solution;  

            best_value = obj.objective_function(best_solution);  

        end  

    end  

end  

 

% Example usage  

objective_function = @(solution) sum(solution); % Minimize the sum for example  

initial_solution = [3, 1, 4, 1, 5];  

tabu_search = TabuSearch(objective_function, initial_solution, 5, 100);  

[best_solution, best_value] = tabu_search.run();  

 

disp('Best Solution:');  

disp(best_solution);  

disp('Best Value:');  

disp(best_value);

说明

邻域生成：在 Python 和 MATLAB 示例中，使用交换两个元素的方法生成邻域解。根据具体问题，其他邻域生成策略也可以应用。

目标函数：示例中使用的目标函数是求解数组元素的和。可以根据需要替换为其他目标函数。

禁忌列表：用于存放最近访问过的解，以避免将它们纳入后续搜索。

这两个实现提供了禁忌搜索的基本框架，可以根据实际需求修改和扩充。具体的优化问题和目标函数可以自行设计。