1、Unity【基础】3D数学

3D数学

3D数学

1、数学计算公共类Mathf

1、Mathf和Math

Math是c#中封装好的用于【数学计算的工具类】位于system命名空间中public static class Math{}
Mathf是Unity中封装好的用于【数学计算的工具结构体】位于UnityEngine命名空间中public struct Mathf{}
他们都是提供来用于进行【数学相关计算】的

2、区别

一个是静态类，一个是结构体
Mathf比Math有更多的数学计算方法

3、Mathf中的常用方法（一般计算一次）

void Start()
{1、π PIMathf.PI2、绝对值 Abs3、向上取整 CeilToIntprint(Mathf.CeilToInt(1.3f)); //24、向下取整 FloorToInt5、钳制函数 Clamp （在参数二，和参数三的范围里取值）print(Mathf.Clamp(10, 11, 22)); //11print(Mathf.Clamp(23, 11, 22)); //22print(Mathf.Clamp(16, 11, 22)); //166、获取最大值 Max7、获取最小值 Min8、一个数的n次方 Powprint(Mathf.Pow(2, 3)); //2的3次方9、四舍五入 RoundToInt10、返回一个数的平方根 Sqrt11、判断一个数是否是2的n次方 IsPowerOfTwoprint(Mathf.IsPowerOfTwo(1)); //true12、判断正负数 Signprint(Mathf.Sign(8)); //1print(Mathf.Sign(-8)); //-1
}

4、Mathf中的常用方法（一般不停计算）

float start = 0;
float result = 0;
float time = 0;
void Update()
{
插值运算 LerpLerp函数公式result = Mathf.Lerp(start,end,t);t为插值系数，取值范围为0~1,计算方法：result = start + (end - start) * t插值运算用法1每帧改变start的值：变化速度先快后慢，位置无限接近，但是不会得到end位置//此处相当于log函数start = Mathf.Lerp(start, 10, Time.deltaTime);插值运算用法2每帧改变t的值：变化速度匀速，每帧接近，当t>=1时，得到结果//此处相当于正比例函数time += Time.deltaTime;result = Mathf.Lerp(result, 10, time);
}

练习 A物体跟随B物体移动

using UnityEngine;public class FollowCube : MonoBehaviour
{public Transform B;public float moveSpeed = 1;private Vector3 pos;private Vector3 bNowPos;private Vector3 startPos;private float time;void Update(){//先快后慢//pos = transform.position;//pos.x = Mathf.Lerp(pos.x, B.position.x, Time.deltaTime * moveSpeed);//pos.y = Mathf.Lerp(pos.y, B.position.y, Time.deltaTime * moveSpeed);//pos.z = Mathf.Lerp(pos.z, B.position.z, Time.deltaTime * moveSpeed);//transform.position = pos;//匀速运动if (bNowPos!= B.transform.position){time = 0;bNowPos = B.transform.position;startPos= transform.position;}time += Time.deltaTime;pos.x = Mathf.Lerp(startPos.x, bNowPos.x, time * moveSpeed);pos.y = Mathf.Lerp(startPos.y, bNowPos.y, time * moveSpeed);pos.z = Mathf.Lerp(startPos.z, bNowPos.z, time * moveSpeed);transform.position = pos;}
}

2、三角函数

1、角度和弧度

1.角度和弧度角度：1°弧度：1 （radian）圆一周的弧度：2π （radian）2.角度和弧度的关系π rad = 180°则：1 rad ≈ 57.3°1° ≈ 0.01745 rad角度 = 弧度 * 57.3float rad = 1;float angle = rad * Mathf.Rad2Deg;弧度 = 角度 * 0.01745angle = 1;rad = angle * Mathf.Deg2Rad;

2、三角函数

Mathf中，只使用弧度，所以要角度转弧度(Deg2Rad)
sin30°Mathf.Sin(30 * Mathf.Deg2Rad);

3、反三角函数

通过反三角函数计算正弦值或余弦值对应的弧度值弧度 = Mathf.Asin(正弦值)弧度 = Mathf.Acos(余弦值)float radian = Mathf.Asin(0.5f);   //先将值转化为弧度float degree = radian * Mathf.Rad2Deg;   //再将弧度转角度print(degree);

练习 物体曲线移动

using UnityEngine;public class SinMove : MonoBehaviour
{public float moveSpeed = 1; //前后移动public float changeSpeed = 2; //左右移动public float changeSize = 5; //左右幅度private float time = 0;void Update(){    time += Time.deltaTime * changeSpeed;//前后移动transform.Translate(Vector3.forward * moveSpeed * Time.deltaTime);//左右移动transform.Translate(Vector3.right * changeSize * Time.deltaTime * Mathf.Sin(time));}
}

3、Unity中的坐标系

1、世界坐标系

原点：世界的中心点
轴向：世界坐标系的三个轴向是固定的transform.position;transform.rotation;transform.eulerAngles; //欧拉角transform.lossyScale; //缩放

2、物体坐标系

原点：物体的中心点（建模时决定）
轴向：物体的方右为x轴正方向物体的上方为y轴正方向物体的前方为z轴正方向//相对父对象的坐标transform.localPosition;transform.localRotation;transform.localEulerAngles;transform.localScale;

3、屏幕坐标系

原点：屏幕左下角
轴向：向右为x轴正方向向上为y轴正方向
最大宽高：Input.mousePosition;Screen.width;Screen.height;

4、视口坐标系

原点：屏幕左下角
轴向：向右为x轴正方向向上为y轴正方向
特点：左下角(0,0)右上角(1,1)
和屏幕坐标类似，将坐标单位化
摄像机上的【视口范围】属于视口 Viewport Rect

5、坐标转换

世界转本地transform.InverseTransformDirection;transform.InverseTransformPoint;transform.InverseTransformVector;本地转世界transform.TransformDirection;transform.TransformPoint;transform.TransformVector;世界转屏幕Camera.main.WorldToScreenPoint;
屏幕转世界Camera.main.ScreenToWorldPoint;世界转视口Camera.main.WorldToViewportPoint;
视口转世界Camera.main.ViewportToWorldPoint;视口转屏幕Camera.main.ViewportToScreenPoint;
屏幕转视口Camera.main.ScreenToViewportPoint;

4、Vector3向量

1、向量模长和单位向量

1、向量基础

三维向量 Vector3
Vector3有两种意义：1、可以表示位置 代表一个点transform.position;2、也可以表示方向 代表一个方向transform.forward;

2、两点决定 向量

Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 B = new Vector3(2, 3, 4);
求向量 终点 - 起点
Vector3 AB = B - A;
Vector3 BA = A - B;

3、零向量和负向量

零向量(0,0,0)Vector3.zero;
负向量(x,y,z)的负向量为(-x,-y,-z)Vector3.forward;-Vector3.forward;

4、向量模长

模长：向量的长度AB.magnitude; //AB的模长Vector3 C = new Vector3(3, 4, 5);print(C.magnitude); //点C到原点的模长Vector3.Distance(A, B); //两点之间的距离

5、单位向量

模长为1的向量只管方向AB.normalized;AB / AB.magnitude;

2、向量加减乘除

1、向量加法：位置+位置：Unity无意义向量+向量：首位相连位置+向量：平移位置transform.Translate(Vector3.forward * 5);//transform.position += new Vector3(1, 2, 3);2、向量减法：位置-位置：向量向量-向量：新向量 （A-B=B向量头指向A向量头）位置-向量：平移位置transform.Translate(-Vector3.forward * 5);//transform.position -= new Vector3(1, 2, 3);3、向量的乘除向量 */ 标量 = 缩放向量的模长transform.localScale *= 2;transform.localScale /= 2;//LossyScale只能得，不能改

练习：向量实现摄像机跟随

public float z = 4;
public float y = 7;
public Transform target;void LateUpdate()
{//摄像机移动在LateUpdate中transform.position = target.position + -target.forward * z + target.up * y;transform.LookAt(target);
}

3、向量点乘

1、点乘的计算

向量A（Xa,Ya,Za）
向量B（Xb,Yb,Zb）A*B = Xa*Xb + Ya*Yb + Za*Zb
向量 * 向量 = 标量

2、点乘的几何意义

点乘可以得到向量的投影长度
点乘结果>0,两个向量的夹角为锐角 （目标在前）
点乘结果=0,两个向量的夹角为直角 （目标在左or右两侧不确定）
点乘结果<0,两个向量的夹角为钝角 （目标在后）
作用：判断目标的大致方位

unity点乘

调试画线//线段 参数（起点，终点）Debug.DrawLine(transform.position, transform.position + transform.forward * 3, Color.red);//射线 参数（起点，方向）Debug.DrawRay(transform.position,transform.right, Color.green);
通过点乘判断对象方位//得到两个向量的点乘结果Debug.DrawRay(transform.position, transform.forward * 10);Debug.DrawRay(transform.position, target.position - transform.position);float a = Vector3.Dot(transform.forward, target.position - transform.position);if (a >= 0){print("目标在前方");}else{print("目标在后方");}

3、公式推导

已知单位模长A 单位模长B，以及点乘的几何意义；
则：cosβ = 单位向量A * 单位向量B
再根据数学的反三角函数推出：β = Mathf.Acos(A*B) * Mathf.Rad2Deg

4、通过点乘推导公式算出夹角

//单位向量算出点乘结果（方向向量）
float dotResult = Vector3.Dot(transform.forward, (target.position - transform.position).normalized);
//用Unity反三角函数算出角度
print(Mathf.Acos(dotResult) * Mathf.Rad2Deg);最简单直接的方法：
//Unity只需两个向量算出夹角的方法
float ang = Vector3.Angle(transform.forward, target.position - transform.position);
print("角度" + ang);

练习 检测半径为5，角度为90°的扇形区域

方法一：
public Transform B;
void Update()
{float c = Vector3.Distance(transform.position, B.position);if (c <= 5){float dotResult = Vector3.Dot(transform.forward, (B.position - transform.position).normalized);//Debug.DrawRay(transform.position, (transform.forward + Vector3.right)*5);if ((Mathf.Acos(dotResult) * Mathf.Rad2Deg) <= 45f){print("发现目标");print("与目标距离" + c + "米");}}
}

方法二： 用Angle
public Transform B;
void Update()
{float c = Vector3.Distance(transform.position, B.position);if (c <= 5 && Vector3.Angle(transform.position, B.position - transform.position) <= 45){print("发现目标");print("与目标距离" + c + "米");}
}

4、向量叉乘

1、叉乘计算公式

向量 * 向量 = 向量向量A（Xa,Ya,Za）向量B（Xb,Yb,Zb）A*B=(X,Y,Z)X = Ya*Zb - Za*YbY = Za*Xb - Xa*ZbZ = Xa*Yb - Ya*XbVector3.Cross();

2、几何意义

A*B得到的向量同时垂直A和B的法向量
A*B = - B*A若A、B向量在同一平面上,A*B（y为法向量）：
y>=0;则B在A的右侧
y<0;则B在A的左侧总结：根据向量叉乘的顺序决定左右位置Vector3 cross = Vector3.Cross(A.position, B.position);if (cross.y > 0){print("B在A的右侧");}else{print("B在A的左侧");}

练习 物体方位

1、//判断物体B相对于物体A的位置，左上，左下，右上，右下方位
public Transform A;
public Transform B;//点乘判断前后
private float dotResult;
//叉乘判断左右
private float crossResult;private float distance; //距离
private float angle; //角度void Update()
{dotResult = Vector3.Dot(A.forward, B.position - A.position);crossResult = Vector3.Cross(A.forward, B.position - A.position).y;//点乘判断前后if (dotResult >= 0){//前print(crossResult >= 0 ? "B在右上方" : "B在左上方");}else{//后print(crossResult >= 0 ? "B在右后方" : "B在左后方");}2、//判断一个物体在左前方20度角or右前方30度范围内，且在距离5米内distance = Vector3.Distance(A.position, B.position);angle = Vector3.Angle(A.forward, B.position - A.position);if (distance <= 5){if (crossResult >= 0 && angle <= 30){print("发现目标！！！");print("目标位于右前方" + decimalPoint2(angle) + "°，" + decimalPoint2(distance) + "米处");}else if (crossResult < 0 && angle <= 20){print("发现目标！！！");print("目标位于左前方" + decimalPoint2(angle) + "°，" + decimalPoint2(distance) + "米处");}}
}//小数点保留后两位
private float decimalPoint2(float f)
{int i = (int)(f * 100);return i * 0.01f;
}

5、差值运算

1、线性插值

Vector3.Lerp(start, end, t);
对两个点进行插值计算
t的取值范围为0~1计算公式：result = start + (end - start) * t应用1、每帧改变start的值（先快后慢）2、每帧改变t的值（匀速）

两种线性插值代码实现

public Transform A;
public Transform B;
public Transform target;private Vector3 startPos;
private float time;
private Vector3 nowTarget;void Start()
{startPos = B.position;
}void Update()
{//每帧改变start的值（先快后慢）A.position = Vector3.Lerp(A.position, target.position, Time.deltaTime);//每帧改变t的值（匀速）if (nowTarget != target.position){nowTarget = target.position;startPos = B.position;time = 0;}time += Time.deltaTime;B.position = Vector3.Lerp(startPos, nowTarget, time);
}

2、球性插值

Vector3.slerp(start, end, t);
对两个向量进行插值运算 t:(0~1)
//运动轨迹为弧形
C.position = Vector3.Slerp(transform.forward * 10, -transform.forward * 3, time);

思考1 Lerp摄像机跟随

1.先快后慢
public float z = 4;
public float y = 7;
public Transform target;public Vector3 targetPos;
public int speedMove = 1;void LateUpdate()
{//目标位置if (targetPos != target.position + -target.forward * z + target.up * y){targetPos = target.position + -target.forward * z + target.up * y;}transform.position = Vector3.Lerp(transform.position, targetPos, Time.deltaTime * speedMove);transform.LookAt(target);
}

2、匀速跟随
public float z = 4;
public float y = 7;
public Transform target;public Vector3 targetPos;
public int speedMove = 1;
private Vector3 startPos;
private float time;
void LateUpdate()
{//目标位置if (targetPos != target.position + -target.forward * z + target.up * y){targetPos = target.position + -target.forward * z + target.up * y;startPos = transform.position;time = 0;}time += Time.deltaTime;transform.position = Vector3.Lerp(startPos, targetPos, time*speedMove);transform.LookAt(target);
}

思考2 球形插值模拟太阳升降

public Transform C;
private float time;
void Update()
{time += Time.deltaTime;C.position = Vector3.Slerp(Vector3.right*10 + Vector3.up * 0.1f, Vector3.left*10, time*0.1f);
}

5、Quaternion四元数

1、为何使用四元数

Rotation表示欧拉角 transform.eulerAngles
因为欧拉角存在一些缺点：
1、同一旋转的表示不唯一
2、万向节死锁
而四元数旋转不存在万向节死锁问题
所以使用四元数来表示三维空间中的旋转信息

2、四元数是什么

1、四元数的构成

四元数包含一个标量和一个3D向量
[w,v] w为标量，v为3D向量
[w,(x,y,z)]
四元数表示3D空间中的一个旋转量轴-角对（含义）:绕一个轴（Q）旋转β度

2、Unity中的四元数

Unity中的四元数：Quaternion
轴角对初始化
1、基本写法（很少用）：公式：四元数Q = [cos(β/2),sin(β/2)*x,sin(β/2)*y,sin(β/2)*z]简化记忆：Q = c,s(x,y,z)  β/2//(1,0,0)旋转60度Quaternion q = new Quaternion(Mathf.Cos(60 / 2 * Mathf.Deg2Rad), 0, 0, Mathf.Sin(60 / 2 * Mathf.Deg2Rad) * 1);2、Unity简单写法依据公式：四元数Q = Quaternion.AngleAxis(角度,轴);Unity代码：Quaternion q = Quaternion.AngleAxis(60,Vector3.right);//将四元数赋值给一个物体GameObject obj = GameObject.CreatePrimitive(PrimitiveType.Cube);obj.transform.rotation = q;

3、四元数和欧拉角转换

1、欧拉角转四元数
Quaternion q = Quaternion.Euler(60,0,0);
2、四元数转欧拉角
q.eulerAngles;

4、四元数弥补欧拉角的缺点

四元数相乘：旋转四元数
1、四元数的结果始终是 -180~180
2、四元数旋转可以避免万向节死锁

3、四元数常用方法

1、单位四元数

没有旋转量（角位移）
Unity:Quaternion.identity
例：[1,(0,0,0)][-1,(0,0,0)]
作用：对象角度初始化

2、插值运算

// Slerp比Lerp效果好
public Transform A;
public Transform B;
public Transform C;private Quaternion start;
private float time;
void Start()
{start = B.rotation;
}void Update()
{//先快后慢，无线接近A.rotation = Quaternion.Slerp(A.rotation, C.rotation, Time.deltaTime);//匀速变化 time>=1则到达目标time += Time.deltaTime;B.rotation = Quaternion.Slerp(start, C.rotation, time);
}

3、向量方向 转换为对应 四元数角度

API：Quaternion.LookRotation(目标向量)public Transform LA;
public Transform LB;
void Update()
{LA.rotation = Quaternion.LookRotation(LB.position - LA.position);
}

思考1 写一个类似LookAt()的拓展方法

public static class Tool
{public static void MyLookAt(this Transform obj,Transform target){obj.rotation = Quaternion.LookRotation(target.position - obj.position);}
}

思考2 用LookRotation实现摄像机跟随

public float z = 4;
public float y = 7;
public Transform target;
public Vector3 targetPos;public int speedMove = 1;
private Vector3 startPos;
private float time;private Quaternion targetQua;private Quaternion startQua;
private float roundTime;
void LateUpdate()
{//目标位置if (targetPos != target.position + -target.forward * z + target.up * y){targetPos = target.position + -target.forward * z + target.up * y;startPos = transform.position;time = 0;}time += Time.deltaTime;transform.position = Vector3.Lerp(startPos, targetPos, time * speedMove);//transform.LookAt(target);//1、先快后慢//targetQua = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);//transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, targetQua, Time.deltaTime);//2、匀速跟随if (targetQua != Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position)){targetQua = Quaternion.LookRotation(target.position - transform.position);startQua = transform.rotation;roundTime = 0;}roundTime += Time.deltaTime;transform.rotation = Quaternion.Slerp(startQua, targetQua, roundTime);
}

4、四元数计算

1、四元数相乘

q1 = q2 * q3
两个旋转量的叠加
旋转方向一直是本地坐标系Quaternion qua = Quaternion.AngleAxis(30, Vector3.up);
transform.rotation *= qua; //沿y轴顺时针旋转30度
transform.rotation *= qua; //再旋转30度

2、四元数乘向量

V1 = v2 * q
旋转【四元数角度】向量Vector3 v = Vector3.forward;
v = Quaternion.AngleAxis(45, Vector3.up) * v; //此处必须：先四元数，再乘向量

思考1 模拟飞机发射子弹，单发、双发、扇形、环形

AirPlane 飞机类

using UnityEngine;public enum E_FireType
{SingleShoot,DoubleShoot,SectorShoot,AnnularShoot
}
public class AirPlane : MonoBehaviour
{public GameObject bullet;public int bulletNum = 4;private E_FireType nowType = E_FireType.SingleShoot;void Update(){if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Alpha1)){print("切换为单发");nowType = E_FireType.SingleShoot;}if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Alpha2)){print("切换为双发");nowType = E_FireType.DoubleShoot;}if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Alpha3)){print("切换为扇形子弹");nowType = E_FireType.SectorShoot;}if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Alpha4)){print("切换为环形子弹");nowType = E_FireType.AnnularShoot;}if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space)){print("开火");Fire();}}private void Fire(){switch (nowType){case E_FireType.SingleShoot:Instantiate(bullet,transform.position,transform.rotation);break;case E_FireType.DoubleShoot:Instantiate(bullet, transform.position - transform.right * 0.5f, transform.rotation);Instantiate(bullet, transform.position + transform.right * 0.5f, transform.rotation);break;case E_FireType.SectorShoot:Instantiate(bullet, transform.position, transform.rotation);Instantiate(bullet, transform.position, transform.rotation * Quaternion.AngleAxis(-15, Vector3.up));Instantiate(bullet, transform.position, transform.rotation * Quaternion.AngleAxis(15, Vector3.up));break;case E_FireType.AnnularShoot:float angle = 360 / bulletNum;for (int i = 0; i < bulletNum; i++)Instantiate(bullet,transform.position,transform.rotation*Quaternion.AngleAxis(i* angle, Vector3.up));break;}}
}

Bullet 子弹类

using UnityEngine;public class Bullet : MonoBehaviour
{public float moveSpeed = 10;private void Start(){Destroy(gameObject, 5);}void Update(){transform.Translate(Vector3.forward * Time.deltaTime * moveSpeed);}
}

思考2 摄像机跟随效果

1、摄像机看向人物头顶上方一个位置（可调节）

2、摄像机在任务斜后方，通过角度控制斜率

3、通过鼠标滚轮可以控制摄像机与人物的距离（有最大最小限制）

4、Quaternion.Slerp实现摄像机看向人物

5、Vector3.Lerp实现相机跟随人物

using UnityEngine;public class CameraMovePlus : MonoBehaviour
{//摄像目标public Transform target;//头顶偏移位置public float overHeadOffset = 1;//倾斜角度public float tiltAngle = 45;//摄像机到头顶偏移位置的距离public float distance = 5;public float minDis = 3;public float maxDis = 8;public int scrollSpeed = 2;public int lookSpeed = 1;Vector3 nowPos;Vector3 nowDir;void Start(){//transform.rotation *= Quaternion.AngleAxis(45, Vector3.right);}void Update(){//3、通过鼠标滚轮可以控制摄像机与人物的距离（有最大最小限制）//滚轮distance += Input.GetAxis("Mouse ScrollWheel") * scrollSpeed;distance = Mathf.Clamp(distance, minDis, maxDis);//1、摄像机看向人物头顶上方一个位置（可调节）//偏移nowPos = target.position + target.up * overHeadOffset;//2、摄像机在任务斜后方，通过角度控制斜率nowDir = Quaternion.AngleAxis(tiltAngle, target.right) * -target.forward;nowPos = nowPos + nowDir * distance;//transform.position = nowPos;//Debug.DrawLine(transform.position, target.position + target.up * overHeadOffset);//摄像机方向//4、Quaternion.Slerp实现摄像机看向人物transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, Quaternion.LookRotation(-nowDir), Time.deltaTime * lookSpeed * 2);//5、Vector3.Lerp实现相机跟随人物transform.position = Vector3.Lerp(transform.position, nowPos, Time.deltaTime);}
}