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第二十二天|回溯算法| 理论基础,77. 组合(剪枝),216. 组合总和III,17. 电话号码的字母组合

目录

回溯算法理论基础

1.题目分类

2.理论基础

3.回溯法模板

补充一个JAVA基础知识

什么时候用ArrayList什么时候用LinkedList

77. 组合

未剪枝优化

剪枝优化

216. 组合总和III

17. 电话号码的字母组合


回溯法的一个重点理解:细细理解这句话!

回溯法抽象为树形结构后,其遍历过程就是:for循环横向遍历,递归纵向遍历,回溯不断调整结果集

回溯算法理论基础

1.题目分类

2.理论基础

  • 什么是回溯算法

回溯和递归是相辅相成的。

回溯法也可以叫做回溯搜索法,它是一种搜索的方式。

  • 回溯法的效率

回溯法其实就是暴力查找,并不是什么高效的算法。

因为回溯的本质是穷举,穷举所有可能,然后选出我们想要的答案,如果想让回溯法高效一些,可以加一些剪枝的操作,但也改不了回溯法就是穷举的本质。

  • 回溯法可以解决几类问题

回溯法,一般可以解决如下几种问题:

  • 组合问题:N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  • 切割问题:一个字符串按一定规则有几种切割方式
  • 子集问题:一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
  • 排列问题:N个数按一定规则全排列,有几种排列方式
  • 棋盘问题:N皇后,解数独等等

3.回溯法模板

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构(N叉树)。

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {处理节点;backtracking(路径,选择列表); // 递归回溯,撤销处理结果}
}

回溯三部曲:

  • 回溯函数模板返回值以及参数

回溯算法中函数返回值一般为void。先写逻辑,然后需要什么参数,就填什么参数。

  • 回溯函数终止条件

一般来说搜到叶子节点了,也就找到了满足条件的一条答案,把这个答案存放起来,并结束本层递归。

  • 回溯搜索的遍历过程

for循环可以理解是横向遍历,backtracking(递归)就是纵向遍历,这样就把这棵树全遍历完了,一般来说,搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

补充一个JAVA基础知识

什么时候用ArrayList什么时候用LinkedList

1. 存储结构与基本概念

  • ArrayList:

    • 底层是基于数组的数据结构。
    • 元素是连续存储的,这意味着可以通过索引快速访问元素。
    • 如果数组容量不足时,ArrayList会创建一个更大的数组并将原数组的元素复制到新数组中。
  • LinkedList:

    • 底层是基于双向链表的数据结构。
    • 每个节点存储元素值及前一个和后一个节点的引用。
    • 元素在内存中不必是连续的,增删节点时不需要像ArrayList那样复制数组。

2. 选择依据

  • 使用ArrayList的场景

    • 需要频繁访问元素:由于ArrayList基于数组结构,可以通过索引在O(1)时间内访问任意元素,因此如果你的主要操作是访问而不是插入和删除,ArrayList会更适合。
    • 元素数量较多,但插入和删除操作较少ArrayList在添加元素时,只要不超出容量,添加时间是O(1),但当数组需要扩容时,时间复杂度会变为O(n)。
    • 遍历操作较多ArrayList因为底层是连续内存存储,遍历时缓存命中率较高,因此在遍历时性能会比LinkedList好。
  • 使用LinkedList的场景

    • 需要频繁的插入和删除操作LinkedList在头部或中间插入/删除元素时,不需要移动其他元素,只需要调整指针即可,效率更高。如果你的操作集中在头部或尾部,LinkedList会表现更好。
    • 需要在列表的任意位置频繁插入/删除:在这种情况下,LinkedList可以通过调整节点的指向来高效完成操作,而ArrayList则需要移动元素来维护数组的连续性。
    • 存储的元素数量不大且不需要频繁访问LinkedList的随机访问时间是O(n),因此如果需要频繁通过索引访问元素,LinkedList性能较差。

3. 总结选择

  • 如果主要是读操作(访问元素):选择ArrayList
  • 如果主要是写操作(插入、删除),并且特别是在头部或中间:选择LinkedList
  • 如果数据规模大,并且需要高效的遍历:ArrayList更好。
  • 如果数据规模小,并且操作模式比较多变:LinkedList的灵活性更好。

4. 示例应用场景

  • 使用ArrayList:

    List<String> arrayList = new ArrayList<>();
    arrayList.add("a");  // O(1) - 添加元素
    arrayList.get(0);    // O(1) - 通过索引访问
  • 使用LinkedList:

    LinkedList<String> linkedList = new LinkedList<>();
    linkedList.addFirst("a");  // O(1) - 在头部插入
    linkedList.removeFirst();  // O(1) - 从头部删除

77. 组合

本题是回溯法的经典题目。

把组合问题抽象为如下树形结构:

图中每次搜索到了叶子节点,我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来,就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

未剪枝优化

回溯法三部曲

  • 递归函数的返回值以及参数
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

函数里一定有两个参数,既然是集合n里面取k个数,那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数,为int型变量startIndex,这个参数用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。startIndex 就是防止出现重复的组合。需要startIndex来记录下一层递归,搜索的起始位置。

  • 回溯函数终止条件

path这个数组的大小如果达到k,说明我们找到了一个子集大小为k的组合了,在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

此时用result二维数组,把path保存起来,并终止本层递归。

if (path.size() == k) {result.push_back(path);return;
}
  • 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程,在如下图中,可以看出for循环用来横向遍历,递归的过程是纵向遍历。

for循环每次从startIndex开始遍历,然后用path保存取到的节点i。

可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历,总会遇到叶子节点,遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了,撤销本次处理的结果。

  • 时间复杂度: O(n * 2^n)
  • 空间复杂度: O(n)

整体代码如下:

    class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {// 未剪枝优化backtracking(n, k, 1);return result;}// 递归的每一层在执行完所有可能的路径(所有从startIndex到n的i)之后,会自然退出当前循环,并结束当前的backtracking调用。public void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() == k) {result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = startIndex; i <= n; i++) {path.add(i);backtracking(n, k, i + 1);// 在递归调用返回之后,path.removeLast()会将最后添加的元素移除,以准备下一轮循环中添加不同的元素。path.removeLast();}}}

剪枝优化

剪枝的目标是减少不必要的递归调用,避免继续探索那些不可能满足条件的路径,从而提高效率。

来举一个例子,n = 4,k = 4的话,那么第一层for循环的时候,从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环,从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象,如图所示:

可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了,那么就没有必要搜索了

优化过程如下:

  1. 已经选择的元素个数:path.size();

  2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

  3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1,开始遍历

所以优化之后的for循环是:

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

为什么是 n - (k - path.size()) + 1(重点理解一下)

  • n - (k - path.size()) + 1的含义是:

    • k - path.size():当前还需要选择的元素数量。
    • n - (k - path.size()):表示当前可选择元素的最大起始位置,即从这个位置开始,剩余的元素刚好足够填充到k个。
    • +1是为了让i的范围包含这个起始位置。
  • 例如,如果n = 5k = 3,并且当前path.size() = 1,也就是已经选择了一个元素,还需要选择2个元素。

    • 此时,k - path.size() = 3 - 1 = 2
    • n - (k - path.size()) = 5 - 2 = 3
    • 所以,i的最大值是3 + 1 = 4
    • 换句话说,从i = 4开始时,只有45两个元素可选,这正好可以凑齐3个元素的组合。

剪枝示例进一步理解:

假设n = 5k = 3,我们在不同的递归层次下看i的取值范围:

  • path.size() = 0(还没选任何元素)时:

    • 需要选k = 3个元素。
    • 可选择范围是:i <= 5 - (3 - 0) + 1 = 3,所以i可以从13
    • 选择1时,递归进入下一层。
  • path.size() = 1(已选择1)时:

    • 需要再选2个元素。
    • 可选择范围是:i <= 5 - (3 - 1) + 1 = 4,所以i可以从24
  • path.size() = 2(已选择1, 2)时:

    • 需要再选1个元素。
    • 可选择范围是:i <= 5 - (3 - 2) + 1 = 5,所以i可以从35
  • 以此类推,当path.size() == k时,就停止递归,将结果存入result

优化后整体代码如下:

class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {combineHelper(n, k, 1);return result;}/*** 每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围,就是要靠startIndex* @param startIndex 用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。*/private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){//终止条件if (path.size() == k){result.add(new ArrayList<>(path));return;}for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){path.add(i);combineHelper(n, k, i + 1);path.removeLast();}}
}

216. 组合总和III

本题就是在77基础上多了一个求和的限制罢了,简单。

注意:处理过程 和 回溯过程是一一对应的,处理有加,回溯就要有减

这里我自己写的时候漏了一个sum -= i的回溯

    class Solution {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();int sum = 0;public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {backTrackingSum(k, n, 1);return result;}private void backTrackingSum(int k, int n, int startIndex) {if (sum > n) return; // 剪枝if (path.size() == k) {if (sum == n) {result.add(new ArrayList<>(path));}return;}// 剪枝 9 - (k - path.size()) + 1for (int i = startIndex; i <= 10 - (k - path.size()); i++) {path.add(i);sum += i;backTrackingSum(k, n, i + 1);sum -= i;  // 回溯path.removeLast(); //回溯}}}
// 上面剪枝 i <= 9 - (k - path.size()) + 1; 如果还是不清楚
// 也可以改为 if (path.size() > k) return; 执行效率上是一样的
class Solution {LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {build(k, n, 1, 0);return ans;}private void build(int k, int n, int startIndex, int sum) {if (sum > n) return;if (path.size() > k) return;if (sum == n && path.size() == k) {ans.add(new ArrayList<>(path));return;}for(int i = startIndex; i <= 9; i++) {path.add(i);sum += i;build(k, n, i + 1, sum);sum -= i;path.removeLast();}}
}

17. 电话号码的字母组合

本题需要多理解一下递归逻辑,看着代码

本题就是要解决如下三个问题:

  1. 数字和字母如何映射
  2. 两个字母就两个for循环,三个字符我就三个for循环,以此类推,然后发现代码根本写不出来
  3. 输入1 * #按键等等异常情况

数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个二维数组,例如:string letterMap[10],来做映射。

回溯法来解决n个for循环的问题

回溯三部曲:

  • 确定回溯函数参数

首先需要一个字符串s来收集叶子节点的结果,然后用一个字符串数组result保存起来。

参数指定是有题目中给的string digits,然后还要有一个参数就是int型的index。

这个index是记录遍历第几个数字了,就是用来遍历digits的(题目中给出数字字符串),同时index也表示树的深度。

  • 确定终止条件

终止条件就是如果index 等于 输入的数字个数(digits.size)了,就收集结果,结束本层递归。

  • 确定单层遍历逻辑
int digit = digits[index] - '0';        // 将index指向的数字转为int
string letters = letterMap[digit];      // 取数字对应的字符集
for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {s.push_back(letters[i]);            // 处理backtracking(digits, index + 1);    // 递归,注意index+1,一下层要处理下一个数字了s.pop_back();                       // 回溯
}

整体代码如下。需要多理解一下:

    class Solution {//设置全局列表存储最后的结果List<String> list = new ArrayList<>();public List<String> letterCombinations(String digits) {if (digits == null || digits.length() == 0) {return list;}//初始对应所有的数字,为了直接对应2-9,新增了两个无效的字符串""String[] numString = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};//迭代处理backTraciking(digits, numString, 0);return list;}//每次迭代获取一个字符串,所以会涉及大量的字符串拼接,所以这里选择更为高效的 StringBuilderStringBuilder temp = new StringBuilder();//比如digits如果为"23",num 为0,则str表示2对应的 abcpublic void backTraciking(String digits, String[] numString, int num) {//遍历全部一次记录一次得到的字符串if (num == digits.length()) {list.add(temp.toString());return;}//str 表示当前num对应的字符串//获取当前数字对应的字母字符串:String str = numString[digits.charAt(num) - '0'],//digits.charAt(num) 获取当前 num 指向的数字字符,通过减去字符 '0' 转换为对应的数组索引,得到当前数字对应的字符串。String str = numString[digits.charAt(num) - '0'];for (int i = 0; i < str.length(); i++) {temp.append(str.charAt(i));//递归,处理下一层backTraciking(digits, numString, num + 1);//剔除末尾的继续尝试temp.deleteCharAt(temp.length() - 1);}}}

第二十二天的总算是结束了,直冲Day23!

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