上升点列

题目描述

在一个二维平面内，给定 n 个整数点 (xi​,yi​)，此外你还可以自由添加 k 个整数点。

你在自由添加 k 个点后，还需要从 n+k 个点中选出若干个整数点并组成一个序列，使得序列中任意相邻两点间的欧几里得距离恰好为 1 而且横坐标、纵坐标值均单调不减，即 xi+1​−xi​=1,yi+1​=yi​ 或 yi+1​−yi​=1,xi+1​=xi​。请给出满足条件的序列的最大长度。

输入格式

第一行两个正整数 n,k 分别表示给定的整点个数、可自由添加的整点个数。

接下来 n 行，第 i 行两个正整数 xi​,yi​ 表示给定的第 i 个点的横纵坐标。

输出格式

输出一个整数表示满足要求的序列的最大长度。

输入输出样例

输入 #1

8 2
3 1
3 2
3 3
3 6
1 2
2 2
5 5
5 3

输出 #1

8

输入 #2

4 100
10 10
15 25
20 20
30 30

输出 #2

103

说明/提示

【数据范围】

保证对于所有数据满足：1≤n≤500，0≤k≤100。对于所有给定的整点，其横纵坐标 1≤xi​,yi​≤10^9，且保证所有给定的点互不重合。对于自由添加的整点，其横纵坐标不受限制。

测试点编号	n≤	k≤	xi​,yi​≤
1∼2	10	0	10
3∼4	10	100	100
5∼7	500	0	100
8∼10	500	0	10^9
11∼15	500	100	100
16∼20	500	100	10^9

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;struct node
{int x,y;//1e9 1e9
};
bool operator<(node n1,node n2)
{return n1.x<n2.x||(n1.x==n2.x&&n1.y<n2.y);
}
node p[510];//5e2
int dp[510][110];//5e2
int main()
{int n,k;//5e2 1e2cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){int x,y;//1e9 1e9cin>>x>>y;p[i]={x,y};}sort(p+1,p+n+1);int maxn=0;//5e2for(int i=1;i<=n;i++){int x=p[i].x,y=p[i].y;for(int l=0;l<=k;l++){for(int j=1;j<i;j++){int dx=x-p[j].x,dy=y-p[j].y;if(dx>=0&&dy>=0&&dx+dy<=l+1)dp[i][l]=max(dp[i][l],dp[j][l-dx-dy+1]+dx+dy);}if(dp[i][l]==0)dp[i][l]=l+1;maxn=max(maxn,dp[i][l]);}}cout<<maxn;return 0;
}

---------------------------------------前方级别：洛谷黄题，2022CSP-J T3---------------------------------------

主体思想及算法：

        DP中的LIS（最长上升子序列）变形。

        LIS模板：

for(int i=1;i<=n;i++)
{dp[i]=1;for(int j=1;j<i;j++)if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);maxn=max(maxn,dp[i]);
}
cout<<maxn;

        变形后dp[i][j]代表第i个点加j个点的最大答案。 

代码解读：

        main()：输入n、k、xi、yi。xi和yi记录在一个node（见node）类型的p数组里，p[i]代表编号为i的一组xy。但是由于下方某些原因，p数组不得使用原顺序，需要按排序（具体规则见operator<()）后的顺序。排序后定义一个maxn，由于此题为LIS变形，这个maxn自然代表答案啦！不过初始置为k+1，因为但凡有一个点，他添加k个点也有k+1了。

                第一层循环：首先不管加点的事儿，先定义xy分别为p[i]的xy，一会儿将多次使用。

                        第二层循环：请注意，这层循环的变量l代表可以加l个点，是从0到k！！！因为你可以选择独自优秀不须加点。

                                第三层循环：这个j也要注意，是到i-1，由于之前的排序，我们保证到i之后肯定都不行了，所以也都没用了。再设两个临时变量dx和dy，代表x-p[j].x和y-p[j].y（同样，一会儿将多次使用）。如果dx和dy均大于等于0，也就是说按照要求可以连线，且dx加dy小于等于l加1，这里注意加1，因为假设l是0，dx加dy就得是1。如果满足上句话这些条件，那么dp[i][j]就max=dp[j][l-dx-dy+1]+dx+dy。

                        回到第二层循环，因为每一个dp[i][l]都是独立的，所以maxn等要在此处单独结算。注意如果dp[i][l]是0，要给他设为l+1，毕竟添加l个点就有l+1了。最后maxn max=dp[i][l]。

        回到主函数，输出maxn。

        node：一个x一个y。

        operator<()：重载小于运算符，如果x不同x小者小；否则y小者小。