深入解析 Harris 角点检测算法：从孔径问题到响应函数的完整推导

在图像处理中，角点是非常重要的特征。为了快速、准确地检测角点，Harris 提出了 Harris 角点检测算法，它基于局部窗口内图像梯度的变化来判断角点。本文将从最基础的孔径问题（Aperture Problem）入手，通过泰勒展开和向量乘法的形式逐步推导 Harris 角点检测的过程，并给出特征值分析和角响应函数的详细解释。

1. 孔径问题的引入

孔径问题常用“理发店门前转灯”进行类比说明。你可以想象一个横着旋转的灯，它看起来像是垂直方向移动，但实际上是水平方向转动。

• 感觉上：垂直移动
• 实际情况：水平旋转

在计算机视觉中，光流的计算就面临类似的问题：在仅有一个小窗口的情况下，无法确定物体的移动方向，尤其在物体具有某种平滑性时，感知的运动方向和实际运动方向可能不一致。这就是“孔径问题”。

2. 图像函数的平移与泰勒展开

在处理图像时，假设我们有一幅灰度图像，它的像素值可以用函数 $I(x,y)$ 来表示。这里 $x$ 和 $y$ 是图像的空间坐标， $I(x,y)$ 是在这个点上的像素强度值。Harris 算子的基本思想是当图像发生微小平移时，通过分析像素强度的变化来判断该区域是角点、边缘还是平坦区域。

图像的平移

考虑图像的某个点发生了微小的平移，即从 $(x,y)$ 平移到 $(x+u,y+v)$。那么，经过平移后的像素强度可以表示为 $I(x+u,y+v)$，如图所示

在处理图像时，假设我们有一幅灰度图像，它的像素值可以用函数 $I(x,y)$ 来表示。这里 $x$ 和 $y$ 是图像的空间坐标， $I(x,y)$ 是在这个点上的像素强度值。Harris 算子的基本思想是当图像发生微小平移时，通过分析像素强度的变化来判断该区域是角点、边缘还是平坦区域。

图像的平移

考虑图像的某个点发生了微小的平移，即从 $(x,y)$ 平移到 $(x+u,y+v)$。那么，经过平移后的像素强度可以表示为 $I(x+u,y+v)$。

为了简化问题，我们假设这个位移很小，因此可以使用 泰勒展开 对 $I(x+u,y+v)$ 进行近似：

$$I(x+u,y+v)\approx I(x,y)+u\frac{\partial I}{\partial x}+v\frac{\partial I}{\partial y}+\text{高阶项}$$

其中：

• $\frac{\partial I}{\partial x}$ 表示图像在 $x$ 方向的梯度，记为 $I_x$；
• $\frac{\partial I}{\partial y}$ 表示图像在 $y$ 方向的梯度，记为 $I_y$。

因此，我们可以将上式简化为：

$$I(x+u,y+v)\approx I(x,y)+I_{x}u+I_{y}v$$

这个式子告诉我们，当图像发生微小的平移时，像素值的变化可以通过图像梯度来近似表示。

3. 构造能量函数

在 Harris 角点检测中，关键思想是比较位移前后的像素强度差异，构造一个 能量函数 来度量这种差异。能量函数 $E(u,v)$ 描述了图像在窗口 $W$ 内的像素强度变化，它定义为：

$$E(u,v)=\sum _{(x,y)\in W}\omega (x,y){\left[I(x+u,y+v)-I(x,y)\right]}^2$$

其中：

• $\omega (x,y)$ 是一个权重函数，通常用于加权窗口内不同像素的影响。权重函数可以是均匀分布的矩形窗口，也可以是高斯加权窗口，如图片所示的两种形式。

  • 矩形窗口：窗口内像素权重为 1，外部为 0；
  • 高斯窗口：窗口内的像素权重按照高斯分布递减，使得靠近中心的像素有更大的影响。
    

代入泰勒展开的结果 $I(x+u,y+v)\approx I(x,y)+I_{x}u+I_{y}v$，能量函数可以近似表示为：

$$E(u,v)\approx \sum _{(x,y)\in W}\omega (x,y){\left[I_{x}u+I_{y}v\right]}^2$$

这一步已经将图像的位移引入到了能量函数中，它通过计算窗口内像素的变化来判断图像的局部特性。

4. 向量乘法形式的能量函数

为了便于计算和进一步分析，我们可以将上述能量函数写成矩阵形式。先将 $I_{x}u+I_{y}v$ 写成向量形式：

$$I_{x}u+I_{y}v=\left[\begin{array}{cc}{I}_x& I_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$$

因此，能量函数 $E(u,v)$ 可以写成：

$$E(u,v)=\sum _{(x,y)\in W}\omega (x,y)\left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{I}_x^2& I_x{I}_y\\ I_x{I}_y& I_y^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$$

进一步，我们定义一个称为 结构张量（M） 的矩阵：

$$M=\sum _{(x,y)\in W}\omega (x,y)\left[\begin{array}{cc}{I}_x^2& I_x{I}_y\\ I_x{I}_y& I_y^2\end{array}\right]$$

于是，能量函数可以简化为：

$$E(u,v)=\left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]M\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$$

这就是 Harris 算子中能量函数的向量乘法形式，它为后续的特征值分析奠定了基础。

5. 特征值分析

我们通过特征值分解对结构张量 $M$ 进行分析。这个张量 $M$ 表示的是图像局部区域的梯度信息，它的特征值 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 反映了不同方向上的强度变化。

• ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是 $M$ 的特征值，它们描述了图像在不同方向上的梯度变化程度。根据特征值的大小关系，我们可以判断局部区域的图像结构。

特征值分解可以写为：

$$M=R^{-1}\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]R$$

其中，$R$ 是旋转矩阵，用来将图像的局部梯度信息旋转到与特征值对应的方向上。

平坦区域：

• 如果 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都很小，表示在该区域内无论在哪个方向上图像的强度变化都非常小。这意味着该区域是平坦的，图像强度几乎不变。这种区域通常位于图像的背景或均匀纹理处。
• 如图中所示，梯度图的分布在平坦区域非常集中，${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都接近零。

边缘区域：

• 如果 ${\lambda }_1$ 很大，而 ${\lambda }_2$ 很小，意味着该区域沿着一个方向（通常是边缘的方向）有较大的强度变化，而垂直于该方向的变化非常小。这种情况典型地表示 边缘区域 。
• 从梯度图中可以看出，在边缘区域，数据点呈现拉长的形状，意味着图像沿某一个方向（边缘方向）变化明显，而另一方向上的变化不显著。

角点区域：

• 如果 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都很大，表示图像在该区域内的各个方向都有较大的强度变化。这意味着无论图像在水平或垂直方向移动，都会导致显著的变化，因此可以认为该区域是角点。
• 角点区域在梯度图中显示为近似圆形的分布，表示在多个方向上都有显著的梯度变化。

7. Harris 响应函数

为了快速判断角点，Harris 引入了一个角响应函数：

$$\theta =\det (M)-\alpha \cdot \text{trace}(M{)}^2$$

其中：

• $\det (M)={\lambda }_1{\lambda }_2$ 是矩阵的行列式，表示局部窗口中图像的总变化。
• $\text{trace}(M)={\lambda }_1+{\lambda }_2$ 是矩阵的迹，表示图像的总强度变化。
• $\alpha$ 是经验常数，通常取 0.04 到 0.06。

假设有一个 $2\times 2$ 的矩阵：
$$M=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 5\end{array}\right)$$
矩阵的迹为对角线元素的和，即：
$$\text{trace}(M)=3+5=8$$
在这个例子中，迹等于 8，表示该矩阵的总强度变化。在物理或图像处理应用中，迹可以用来表示某些总量，如能量、强度等。

通过计算这个响应函数 $\theta$，我们可以判断局部区域是否是角点：

1. 角点（Corner）：
   当 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都较大时，说明图像的强度在 $x$ 和 $y$ 方向上都有明显的变化，即梯度变化较大。这种情况通常发生在角点或交叉点处。
2. 边缘（Edge）：
   当 ${\lambda }_1$ 较大而 ${\lambda }_2$ 较小（或相反）时，说明图像在一个方向上有明显变化，而另一个方向上变化较小。此时，局部区域更可能是边缘。
3. 平坦区域（Flat Region）：
   当 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 都较小时，说明图像在该区域内没有明显的强度变化（例如，在均匀的平坦区域）。此时，响应函数值 $\theta$ 也会很小。

8. Harris 算子的优缺点

Harris 角点检测算法能够有效地检测出图像中的角点，并且对图像的 旋转具有较好的不变性 。然而，它也有一些局限性：

• 对尺度不变性较差：Harris 算法对图像缩放不敏感，因此对于不同尺度的图像角点检测效果不佳。
• 容易受到噪声影响：如果图像中存在较多噪声，梯度计算可能会受到干扰，导致角点检测结果不准确。

为了克服这些局限性，常常会将 Harris 角点检测与其他特征提取算法（例如 SIFT 或 SURF）结合使用，以提升检测的鲁棒性。