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通过分解质因数求若干个数的最小公倍数

求最小公倍数的常规方法回顾

暴力枚举法

long long work(long long a,long long b)
{for(long long i=max(a,b);;i++)if(i%a==0&&i%b==0)return i;
}

大数翻倍法

long long work(long long a,long long b)
{if(a<b) swap(a,b);for(long long i=a;;i+=a) // i 是 a 的倍数,每次增加一倍,i 必然是 a 的倍数,我们只要保证 i 也是 b 的倍数,那么 i 就一定是 a,b 的最小公倍数if(i%b==0)return i;
}

公式法

long long work(long long a,long long b)
{long long c = __gcd(a,b); // 先求 a,b 的最大公约数return a*b/c; //按照公式算出最小公倍数
}

分解质因数求若干个数的最小公倍数

有n个数a[i](i从1到n),求它们的最小公倍数可以采用下面方法:

  1. 求出 max(a[i]​),算出 小于等于 max(a[i]​) 的所有质数 bjbj​

  2. 对每一个a[i]进行质因数分解,进而得到 c[i] c[j]其含义为对a[i]分解质因数,能分解出c[i] c[j] 个质因数b[j]。

下面,我们举一个例子,假设我们要求 2 到 15 的最小公倍数。 

  • 2,4,6,8,10,12,14 都能分解出质因数 2 ,最多能分解出 3 个(8 分解出 3 个 2),所以,最少公倍数一定包含 3 个质因数 2 (不可能小于 3 个,否则就不可能是 8 的倍数;也不可能多于 3 个,否则就不是最小的倍数)

  • 3,6,9,12,15 都能分解出质因数 3,最多能分解出 2 个 3(9 分解出 2 个 3),所以,最少公倍数一定包含 2 个质因数 3

  • 5,10,15 都能分解出质因数 5,均只能分解出 1 个 5,所以,最少公倍数一定包含 1 个质因数 5

.....

通过分解质因数的方法求最小公倍数的应用场景

有一些题目并不需要真正输出最小公倍数的具体数值是什么。只需要根据这个分解情况进行下一步计算,分解法在这个时候特别有意义。

公式法中出现除的运算。意味着,中间答案可能会很大,容易溢出。另外,因为有除法的出现,就导致了同余定理不能使用。用分解法来求质因数,最终结果就是对很多很多个质因数乘起来,乘法和加法都是可以运用同余定理的。

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