离散数学_第二章：基本结构：集合、函数、序列、求和和矩阵（1）

2.1 集合

2.1.1 集合的基本概念

定义1：集合 是不同对象的一个无序的聚集，对象也称为集合的元素(element)或成员(member)。集合包含(contain)它的元素。我们用a∈A来表示a是集合A 中的一个元素。记号a∉A表示a不是集合A 中的一个元素。

定义2：集合相等 两个集合相等当且仅当它们拥有同样的元素
。如果A和B是集合，则A和B是相等的当且仅当∀x (x∈A ↔ x∈B)。如果A和B是相等的集合，就记为 A=B。

定义3：空集 有一个特殊的不含任何元素的集合。这个集合称为空集。

定义4：单元素集 只有一个元素的集合叫作单元素集。

定义5：子集 集合A是集合B的子集并且B是A的超集当且仅当A的每个元素也是B的元素。
我们用记号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。另外，如果我们要强调B是A的超集，可以用等价的记号 B ⊇ A(故 A ⊆ B和B⊇A是等价的语句）。

定义6：n元集 :含有n个元素的集合
0元集：∅
1元集(或单元集),如{a}, {b}, {∅}, {{∅}}······

定义7：相对补集 :属于A而不属于B的全体元素，称为B对A的相对补集，记作A-B。A-B = { x | (x∈A) ∧ (x∉B) }

定义8：对称差 ：属于A而不属于B，或属于B而不属于A的全体元素，称为A与B的对称差，记作A⊕B。A⊕B={x|(x∈A∧x∉B)∨(x∉A∧x∈B)}
A⊕B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)

2.1.2 集合的表示方法

1.花名册方法
（也叫：枚举法、列举法）

🐤列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。例如：
A = {a,b,c,d,…,x,y,z}
B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

🐤集合元素的顺序不重要：
C={2,1}={1,2}

🐤集合中的元素各不相同(多重集除外)：
C={2,1,1,2}={2,1}

🏔多重集(multiple set)：
允许元素多次重复出现的集合
元素的重复度: 元素的出现次数(≥0)
例如：A = {a,a,b,b,c}是多重集
元素a,b的重复度是2
元素c的重复度是1
元素d的重复度是0

🐤当集合中元素特征明确 或者规律显而易见时，可以使用省略号 （···）代替，不必列出所有成员：
S = { a,b,c, ······ ,z }

2.使用集合构造器符号
（也叫：描述法）
通过描述作为集合的成员必须具有的 性质来刻画集合中的那些元素。一般的形式是采用记号 {x | x具有性质P} ，读作:满足 P的所有x的集合

常用的数集合：
N = {0,1,2,3, ···}：自然数(natural numbers)集合
Z = {··· ,-2,-1,0,1,2 ···}：整数(integers)集合
Q = {p/q | p∈Z，q∈Z，且q ≠ 0 }：有理数(rational numbers)集合
R：实数(real numbers)集合
C：复数(complex numbers)集合

这些集合通常用黑体表示

3.特征函数法
集合A的特征函数是χA (x)

2.1.3 文氏图

文氏图： 平面上的n个圆(或椭圆),使得任何可能的相交部分, 都是非空的和连通的

2.1.4 证明集合相等

需要证明：A ⊆ B 和 B ⊆ A

2.1.5 集合的大小 ——基

令S为集合，如果S中恰有n个不同的元素，这里n是非负整数，我们就说S是有限集（一个集合称为是无限的，如果它不是有限的），而n是S的基数，S的基数记为 | S |

➡ 通俗来说，基数就是元素的个数

2.1.6 幂集

幂集: 给定集合S，S的幂集是集合S 所有子集的集合 。S的幂集记作P(S)
例如: A={a,b}， P(A) = {∅,{a},{b},{a,b}}

🐳 x∈P(A) ⇔ x⊆A

定理: |A|=n ⇒ |P(A)|=2ⁿ

2.1.7 集族、指标集

集族定义： 由集合构成的集合（幂集都是集族）
指标集定义： 设A是集族, 若A={Aα|α∈S}, 则S称为A的指标集. S中的元素与A中的集合是一一对应的. 也记作A={A_α|α∈S}={A_α}α∈S

2.1.8 笛卡尔积

🚩有序n元组：（a₁，a₂，···，a_n）是以a₁为第1个元素，a₂为第2
个元素，⋯，a_n为第n个元素的有序聚集。

⭐两个有序n元组是相等的当且仅当每一对对应的元素都相等

特别地，有序二元组称为序偶。

🚩笛卡尔积：
令A和B为集合。A和B的笛卡儿积用 A×B表示，是所有序偶(a，b)的集合，其中a∈A，b∈B。于是，A×B = {（a,b）| a∈A∧b∈B}
注意：笛卡尔积A×B和B×A是不相等的，除非A = ∅，B = ∅或A = B

2.1.9 容斥原理

|A ∪ B| = |A|+|B| - |A∩B|