5.3 牛顿-科茨公式

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学习目标：

1. 理解微积分基础知识，例如导数和微分的概念。
2. 学习牛顿-科茨公式的推导过程。这个公式实际上是使用泰勒公式对被积函数进行展开，并使用微积分的基本原理进行简化得到的。
3. 学习如何使用牛顿-科茨公式进行数值积分。这通常涉及到将被积函数替换为一个多项式，然后对多项式进行积分。
4. 学习牛顿-科茨公式的应用，例如在数值微积分和数值求解微分方程中的应用。

5.3.1 牛顿-科茨公式

牛顿-科茨公式是一种数值积分公式，用于计算定积分的近似值。它基于在积分区间上采用等距节点的插值多项式，通过将多项式积分来近似定积分的值。

牛顿-科茨公式的一般形式为：

 

其中，a和b是积分区间的端点，f(x)是被积函数，n是插值多项式的次数，x_i是区间上的等距节点，\xi是一个介于a和b之间的常数，A_i是插值多项式中x^i项的系数，w(x)是一个权重函数，\omega(x)是插值多项式的基函数。

牛顿-科茨公式的一个优点是可以根据需要选择合适的插值多项式次数$n$，以平衡精度和计算复杂度。此外，它也可以通过将积分区间分成若干个小区间，然后分别使用公式来计算每个小区间上的积分，从而提高精度。

牛顿-科茨公式的主要难点在于确定权重函数$w(x)$和基函数$\omega(x)$，这涉及到一些数学推导和技巧。此外，还需要注意插值多项式次数的选择、积分区间的选取和节点数的确定等问题，以确保计算精度和计算效率。

 

 我的理解：

牛顿-科茨公式是一种利用函数在某一点处的导数信息，通过不断递推使用差商来逼近函数值的方法。它将函数的数值逼近问题转化为求解差商的问题，可以通过递推的方式快速求解多项式的系数。这种方法的优点是计算效率高、精度较高，可以用于求解各种数学问题，如求解方程、计算数值积分等。其基本思想是在已知一些函数值和对应的导数值的前提下，利用递推公式不断求出差商，最终逼近目标函数的值。

 辛普森公式：

辛普森公式是一种数值积分方法，用于计算给定函数的定积分。它是基于二次多项式插值的思想，将被积函数在区间 $[a,b]$ 上划分为若干个小区间，每个小区间上采用二次多项式插值公式，最终得到整个区间的积分值。

具体地，辛普森公式是将被积函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上分成若干个小区间，每个小区间采用二次多项式插值公式：

 

其中 $x_i=a+ih_i$，$i=0,1,\ldots,n$，$h_i=\frac{b-a}{2n}$。

然后，对于每个小区间 $[x_i,x_{i+2}]$，将其积分值计算为：

 

最终将所有小区间的积分值相加，即可得到整个区间 $[a,b]$ 的积分值。

辛普森公式的精度很高，其代数精度为 $2$ 阶，即在 $[a,b]$ 上任意次可微的函数 $f(x)$，用辛普森公式计算积分的误差为：

 

其中 $h=\frac{b-a}{2n}$，$\eta\in [a,b]$。

需要注意的是，辛普森公式的使用需要将区间 $[a,b]$ 平均分成偶数份。如果区间不能平均分割，则需要使用其他数值积分方法。

 

 我的理解：

辛普森公式是数值积分中的一种常用方法，可以用于计算一定区间上函数的定积分。其基本思想是将被积函数在区间上用二次多项式拟合，再对其进行积分。其公式为：

 

其中 $f(x)$ 是被积函数，$a$ 和 $b$ 是积分区间的端点。公式右边是被积函数在区间 $[a,b]$ 上按照一定权重进行采样的结果。可以看出，辛普森公式是基于两个区间上的梯形公式和中点公式相加而得到的。

辛普森公式的精度比梯形公式和中点公式都要高，其误差项的阶数为 $O(h^4)$，这意味着辛普森公式的误差随着步长的减小而更快地逼近零。因此，在需要较高精度的数值积分计算中，辛普森公式是一种很好的选择。

 3.2 复合低阶牛顿-科茨公式

复合低阶牛顿-科茨公式是一种用于数值积分的方法，它是在牛顿-科茨公式的基础上进一步推广和优化而来的。与牛顿-科茨公式相比，复合低阶牛顿-科茨公式可以处理更加复杂的积分问题，并且能够在保证精度的同时大幅减少计算量。

其基本思想是将积分区间 [a,b]分成 n个小区间，然后在每个小区间上使用低阶牛顿-科茨公式进行数值积分，最后将每个小区间的积分结果相加即可得到整个积分区间 [a,b]的积分近似值。

具体来说，设 h = \frac{b-a}{n}为小区间长度，则将积分区间 $[a,b]$ 均分成 $n$ 个小区间 [x_i,x_{i+1}]，其中 x_i=a+ih，$i=0,1,\cdots,n-1$。然后在每个小区间上采用低阶牛顿-科茨公式进行数值积分，设第 $i$ 个小区间上的积分近似值为 $S_i$，则整个积分区间 $[a,b]$ 的积分近似值为：

常用的复合低阶牛顿-科茨公式有梯形公式和 Simpson 公式。其中，梯形公式使用线性插值多项式，积分精度为 $O(h^2)$；Simpson 公式使用二次插值多项式，积分精度为 $O(h^4)$。这两个公式的具体形式如下：

梯形公式：

Simpson 公式：

 

其中 $x_{i+\frac{1}{2}} = \frac{x_i+x_{i+1}}{2}$。需要注意的是，梯形公式和 Simpson 公式的计算要求 $n$ 为偶数，否则需要对积分区间进行适当调整，以保证计算的正确性。

 我的理解：

复合低阶牛顿-科茨公式是一种数值积分方法，其基本思想是将一个区间分割成多个子区间，然后在每个子区间内使用低阶牛顿-科茨公式来逼近函数在该子区间内的积分值，再将所有子区间内的积分值加起来得到整个区间的积分值。这种方法的优点是可以将一个大区间的积分计算拆分成多个小区间的积分计算，从而提高计算精度和效率。

具体而言，复合低阶牛顿-科茨公式通常包括以下几个步骤：

1. 将一个大区间[a,b]分割成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。

2. 对于每个子区间，使用低阶牛顿-科茨公式来逼近函数在该子区间内的积分值。

3. 将所有子区间内的积分值加起来，得到整个区间[a,b]的积分值。

4. 可以通过改变子区间的数量n来控制计算精度，通常情况下n越大，精度越高，但计算量也越大。

需要注意的是，在实际计算中还需要考虑积分公式的误差和收敛性，以及如何选择合适的分割方式和子区间数量等问题。

 5.3.3 误差的事后估计与步长的自动调整

在数值积分中，我们通常通过选择合适的数值积分公式和步长来计算积分。然而，在实际计算中，由于积分函数的性质复杂、步长的选取不合理等原因，计算结果可能会产生误差。因此，我们需要对计算结果进行误差估计，并在需要的情况下自动调整步长，以达到所需的精度要求。

误差的事后估计是指在计算完积分后，通过某种方法估计计算结果的误差。一般来说，误差的估计与所采用的数值积分公式以及步长有关。常见的误差估计方法包括以下几种：

• 梯形公式误差估计：基于梯形公式的误差估计公式为$E_t = \frac{h^2}{12}(b-a)f''(\xi)$，其中$h=b-a$是步长，$f''(\xi)$是积分函数在区间$[a,b]$内的二阶导数。

• 辛普森公式误差估计：基于辛普森公式的误差估计公式为$E_s = \frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi)$，其中$h=\frac{b-a}{2}$是步长，$f^{(4)}(\xi)$是积分函数在区间$[a,b]$内的四阶导数。

• 复合梯形公式误差估计：基于复合梯形公式的误差估计公式为$E_t = -\frac{h^3}{12n^2}(b-a)f''(\xi)$，其中$h=\frac{b-a}{n}$是步长，$n$是分割区间的个数，$f''(\xi)$是积分函数在区间$[a,b]$内的二阶导数。

• 复合辛普森公式误差估计：基于复合辛普森公式的误差估计公式为$E_s = -\frac{h^5}{2880n^4}(b-a)f^{(4)}(\xi)$，其中$h=\frac{b-a}{2n}$是步长，$n$是分割区间的个数，$f^{(4)}(\xi)$是积分函数在区间$[a,b]$内的四阶导数。

步长的自动调整是指根据当前积分结果和误差估计，自动调整步长以达到所需的精度要求。常见的步长自动调整方法包括以下几种：

• 双精度实数运算：将数值积分的结果存储为双精度实数，然后根据前后两次积分结果的差值进行步长的自适应调整

 我的理解：

误差的事后估计与步长的自动调整是数值积分中常用的优化方法，用于提高数值积分的精度和效率。

在数值积分中，我们通常采用数值积分公式来逼近原函数的积分值。但是，由于数值计算时涉及到舍入误差和截断误差等各种误差，因此我们需要对数值积分的误差进行估计，以便评估数值积分的精度。一般来说，误差的大小取决于数值积分公式的精度和计算步长。

对于误差的事后估计，我们可以通过将不同步长得到的数值积分结果进行比较，进而得到误差估计值。一般来说，我们会选择一些适当的步长序列，例如等距序列或者指数序列，以保证误差估计的准确性和可靠性。

在步长的自动调整中，我们通常会根据当前的误差估计值来调整计算步长，从而达到提高数值积分精度和效率的目的。常见的自动调整方法包括逐步加倍法和Richardson外推法等。

需要注意的是，在应用误差的事后估计和步长的自动调整时，我们需要充分考虑数值积分公式的特点，例如公式的代数精度、收敛性和稳定性等。

 5.3.4 变步长复合梯形法的递推算式

变步长复合梯形法是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。它是由梯形法和复合梯形法结合而成的方法，采用自适应步长的方式来提高精度。

其递推公式如下：

首先，我们将积分区间[a,b]分成n个子区间，每个子区间的长度为h。则梯形公式的近似积分为：

$I_1=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))$

接下来，我们将整个区间[a,b]分成2n个子区间，每个子区间的长度为h/2。则复合梯形公式的近似积分为：

$I_2=\frac{h}{4}(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+2\sum_{i=1}^nf(a+ih)+f(b))$

为了提高精度，我们可以将两次计算的结果进行比较。如果两次计算的误差小于指定的容限，我们就认为计算结果是可靠的，否则就需要将区间进一步细分，重新进行计算。

设第k次计算的近似积分为$I_k$，第k+1次计算的近似积分为$I_{k+1}$，则可以使用以下递推公式：

$I_{k+1}=\frac{1}{2}I_k+\frac{h_k}{2}\sum_{i=1}^{2^k}f(a+(i-\frac{1}{2})h_k)$

其中，$h_k=\frac{b-a}{2^k}$，表示第k次计算的子区间长度。

这个递推公式的意义是将区间[a,b]等分成2^(k+1)个子区间，然后用梯形公式在每个子区间上进行计算，最后将计算结果求和得到第k+1次的近似积分$I_{k+1}$。这样，在每次计算中都会自适应地调整步长，从而提高计算精度。

 我的理解：

变步长复合梯形法是一种数值积分方法，用于计算定积分的近似值。其基本思想是将定积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上采用梯形公式进行近似计算，最后将各小区间上的近似值相加得到总近似值。

与传统的复合梯形法不同的是，变步长复合梯形法采用自适应步长策略，即通过控制每个小区间上的步长大小，来达到提高数值积分精度的目的。算法会先计算出一个较大步长下的近似值，然后将整个区间分割成两个小区间，分别在每个小区间上计算近似值。如果两个小区间上的近似值与较大步长下的近似值差异较大，则需要进一步细分区间，重新计算近似值，直至达到预设精度要求。

变步长复合梯形法的递推算式如下：

 

其中，$T_i$表示第$i$个小区间上的近似值，$h_i$表示第$i$个小区间的步长，$f(x_i)$表示被积函数在$x_i$处的函数值。通过递归计算，可以得到总的近似值。

变步长复合梯形法的优点在于能够根据误差大小自适应地调整步长，从而达到更高的数值积分精度。同时，它也可以有效地处理被积函数在某些点处出现突变的情况，因为在这些点处，算法会自动细分小区间，从而保证积分的准确性。

 

总结：

下面是关于牛顿-科茨公式的重点、难点和易错点的总结：

重点：

1. 牛顿-科茨公式是数值积分中的一种常见方法，用于计算定积分近似值。
2. 牛顿-科茨公式是基于插值多项式的方法，通过选取若干个等距节点和对应的函数值，构造出一个多项式函数，然后利用该多项式函数来估计定积分值。
3. 牛顿-科茨公式有多个版本，包括低阶公式、高阶公式和复合公式，具体使用哪个版本取决于所求定积分的精度要求和计算效率的要求。
4. 牛顿-科茨公式的误差通常使用余项来估计，余项的大小与被积函数的光滑性、节点的选取方式、插值多项式的次数等因素有关。
5. 变步长复合梯形法是一种常用的自适应积分方法，它通过动态调整步长和计算误差来提高数值积分的精度。

难点：

1. 牛顿-科茨公式的精度和效率需要根据具体问题进行权衡和选择，需要有一定的经验和实践。
2. 牛顿-科茨公式的余项的推导和分析需要一定的数学基础和技巧，需要熟练掌握多项式插值和微积分的知识。
3. 变步长复合梯形法的递推算式比较复杂，需要仔细理解其中的各个参数和变量的含义，以及它们之间的关系。

易错点：

1. 节点的选取和多项式的次数对牛顿-科茨公式的精度和效率有重要影响，需要注意选择合适的参数。
2. 牛顿-科茨公式的余项计算可能存在一些技巧性问题，需要注意细节。
3. 变步长复合梯形法在实现时需要注意边界情况和特殊情况的处理，以及参数的选择和调整。