经典回归算法

回归的概念

回归方程：

写成矩阵：

• 核心问题，构建预测函数z来映射特征矩阵x和标签y的线性关系

预测的目标值，有连续值也有离散值

• 连续值，就直接预测输出就行
• 离散值，需要在输出端加一个变换函数例如。Sigmoid函数，将连续值映射到【0，1】之间，即变成概率，根据概率大小就行判别分类
  • Sigmoid函数也有致命的缺陷
    
• 正无穷趋近于1，负无穷趋近于0 ，会导致梯度爆炸和梯度消失

如何对标签值就行转换？

• 取对数，预测值y(x) 和 1 - y(x) 和必然为1，所以二者相除可以得到形似概率的结果

• 所以，叫作对数几率回归 logistic regression , 实质上在做分类

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y(x)代表了样本为某一类标签的概率吗？

参考回答：

逻辑回归存在的问题

缺点：

线性回归对数据的要求很严格，比如标签必须满足正态分布，特征之间的多重共线性需要消除等等，而现实中很多
真实情景的数据无法满足这些要求，因此线性回归在很多现实情境的应用效果有限

• 逻辑回归由线性回归发展而来，当然存在这个问题

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优点：

1. 逻辑回归对线性关系的拟合效果好到丧心病狂。

   • 特征与标签之间的线性关系极强的数据，比如金融领域中的信用卡欺诈，评分卡制作，电商中的营销预测等等相关的数据，都是逻辑回归的强项。
   • 虽然现在有了梯度提升树GDBT，比逻辑回归效果更好，也被许多数据咨询公司启用，但逻辑回归在金融领域，尤其是银行业中的统治地位依然不可动摇
   • 相对的，逻辑回归在非线性数据的效果很多时候比瞎猜还不如，所以如果你已经知道数据之间的联系是非线性的，千万不要迷信逻辑回归

2. 逻辑回归计算快：对于线性数据，逻辑回归的拟合和计算都非常快，计算效率优于SVM和随机森林，亲测表
   示在大型数据上尤其能够看得出区别

3. 逻辑回归返回的分类结果不是固定的0，1，而是以小数形式呈现的类概率数字：我们因此可以把逻辑回归返
   回的结果当成连续型数据来利用。

   • 比如在评分卡制作时，我们不仅需要判断客户是否会违约，还需要给出确定的”信用分“，而这个信用分的计算就需要使用类概率计算出的对数几率，而决策树和随机森林这样的分类器，可以产出分类结果，却无法帮助我们计算分数（当然，在sklearn中，决策树也可以产生概率，使用接口predict_proba调用就好，但一般来说，正常的决策树没有这个功能）。

详细理解

• 两种概率整合：yi的取值就是0或1 ，参数是cta
  

• 预测的概率P
  

• 两边取对数
  

• 得到损失函数：用极大似然法推导

拟合：

逻辑回归和线性回归是天生欠拟合的模型，但我们还是需要控制过拟合的技术来帮助我们调整模型，对逻辑回归中过拟合的控制，通过正则化来实现。

正则化：
正则化是用来防止模型过拟合的过程，常用的有L1正则化和L2正则化两种选项，分别通过在损失函数后加上参数向
量$\theta$ 的L1范式和L2范式的倍数来实现

L1正则化:

在L1正则化在逐渐加强的过程中，携带信息量小的、对模型贡献不大的特征的参数，会比携带大量信息的、对模型
有巨大贡献的特征的参数更快地变成0，所以L1正则化本质是一个特征选择的过程，掌管了参数的“稀疏性”。L1正
则化越强，参数向量中就越多的参数为0，参数就越稀疏，选出来的特征就越少

L2正则化：

L2正则化在加强的过程中，会尽量让每个特征对模型都有一些小的贡献，但携带信息少，对模型贡献不大
的特征的参数会非常接近于0。通常来说，如果我们的主要目的只是为了防止过拟合，选择L2正则化就足够了。

逻辑回归中的特征工程

• 业务指标选择

  • 直接凭借经验，选择通常相关性比较高的指标

• PCA和SVD一般不用

  • 说到降维，我们首先想到的是之前提过的高效降维算法，PCA和SVD，遗憾的是，这两种方法大多数时候不适用于
    逻辑回归。逻辑回归是由线性回归演变而来，线性回归的一个核心目的是通过求解参数来探究特征X与标签y之间的
    关系，而逻辑回归也传承了这个性质，我们常常希望通过逻辑回归的结果，来判断什么样的特征与分类结果相关，
    因此我们希望保留特征的原貌。PCA和SVD的降维结果是不可解释的，因此一旦降维后，我们就无法解释特征和标
    签之间的关系了。
  • 当然，在不需要探究特征与标签之间关系的线性数据上，降维算法PCA和SVD也是可以使用的。

• 统计方法可以使用，但不是非常必要

  • 既然降维算法不能使用，我们要用的就是特征选择方法。逻辑回归对数据的要求低于线性回归，由于我们不是使用
    最小二乘法来求解，所以逻辑回归对数据的总体分布和方差没有要求，也不需要排除特征之间的共线性
    • 解释一下特征共线性的问题：
    • 在一些博客中有这样的观点：多重共线性会影响线性模型的效果。对于线性回归来说，多重共线性会影响比较大，
      所以我们需要使用方差过滤和方差膨胀因子VIF(variance inflation factor)来消除共线性。但是对于逻辑回归，其实不是非常必要，甚至有时候，我们还需要多一些相互关联的特征来增强模型的表现
    • 消除共线性的方法 ： VIF ， Box-cox方法
  • 统计方法，比如方差，卡方，互信息等方法来做特征选择，也并没有问题。过滤法中所有的方法，都可以用在逻辑回归上

处理：

1. 直接embedding
2. 方差贡献率，在逻辑回归中可以使用系数coef_来这样做

关于梯度下降的误区

对损失函数求最小值，自然而然就知道求导数，偏导数

• 注意 $\frac{\nabla f(x,y)}{\partial x}$， $\frac{\nabla f(x,y)}{\partial y}$ 其实 是对$\theta$求导，然后链式求导法则来的，不是直接对x和y求偏导，得到梯度的

$$目标函数：J({\theta }_1,{\theta }_2,...)，{\theta }_i\in \theta$$

• 所以，步长不是任何物理距离，它甚至不是梯度下降过程中任何距离的直接变化，它是梯度向量的大小 d上的一个
  比例，影响着参数向量$\theta$ 每次迭代后改变的部分。

求解器

参数solver & multi_class ： 二元回归与多元回归

• 样本不平衡与参数class_weight ： 暂定是玄学