2D坐标系下的点的转换矩阵（平移、缩放、旋转、错切）

1. 平移 （Translation）

在2D空间中，我们经常需要将一个点平移到另一个位置。假设空间中的一点$P(x,y)$；将其向 $x,y$方向分别平移 $t_x$，$t_y$, 假设平移后点的坐标为$(x^{\prime },y^{\prime })$,则上述点的平移操作可以归纳为如下公式：
$$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=x+t_x\\ & y^{\prime }=x+t_y\end{array}$$
使用齐次矩阵表示如下：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& b& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

import numpy as npdef translation():"""原始数组a 三个点(1,1) (4,4) (7,7)构建齐次矩阵 P构建变换矩阵 T"""a = np.array([[1, 1],[4, 4],[7, 7]])P = np.array([a[:, 0],a[:, 1],np.ones(len(a))])T = np.array([[1, 0, 2],[0, 1, 2],[0, 0, 1]])return np.dot(T, P)print(translation())"""
[[3. 6. 9.][3. 6. 9.][1. 1. 1.]]
"""

动画效果演示

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npX, Y = np.mgrid[0:1:5j, 0:1:5j]
x, y = X.ravel(), Y.ravel()def trans_translate(x, y, tx, ty):T = [[1, 0, tx],[0, 1, ty],[0, 0, 1]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1] * x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)
T_ = [[0, 0], [2.3, 0], [0, 1.7], [2, 2]]
for i in range(4):tx, ty = T_[i]x_, y_, _ = trans_translate(x, y, tx, ty)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].set_title(r'$t_x={0:.2f}$ , $t_y={1:.2f}$'.format(tx, ty))ax[i].set_xlim([-0.5, 4])ax[i].set_ylim([-0.5, 4])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')
plt.show()

2. 缩放 （Scaling）

在2D空间中，点$(x,y)$相对于另一点$(p_x,p_y)$进行缩放操作，我们不妨缩放因子在$x，y$方向分别为：$s_x,s_y$, 则上述的缩放操作可以归纳为如下公式：
$$\begin{array}{rlr}& x^{\prime }=s_x(x-p_x)+p_x& =s_{x}x+p_x(1-s_x)\\ & y^{\prime }=s_y(y-p_y)+p_y& =s_{y}y+p_y(1-s_y)\end{array}$$
使用齐次矩阵表示如下：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& p_x(1-s_x)\\ 0& s_y& p_y(1-s_y)\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

def trans_scale(x, y, px, py, sx, sy):T = [[sx, 0 , px*(1 - sx)],[0 , sy, py*(1 - sy)],[0 , 0 , 1          ]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1]*x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)
S_ = [[1, 1], [1.8, 1], [1, 1.7], [2, 2]]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0.45, 0.45], [1.1, 1.1]]
for i in range(4):sx, sy = S_[i]; px, py = P_[i]x_, y_, _ = trans_scale(x, y, px, py, sx, sy)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].scatter(px, py)ax[i].set_title(r'$p_x={0:.2f}$ , $p_y={1:.2f}$'.format(px, py) + '\n'r'$s_x={0:.2f}$ , $s_y={1:.2f}$'.format(sx, sy))ax[i].set_xlim([-2, 2])ax[i].set_ylim([-2, 2])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')plt.show()

3. 旋转 （Rotation）

在2D空间中，对点$(x,y)$相对于另一点$(p_x,p_y)$进行旋转操作，一般来说逆时针为正，顺时针为负，假设旋转角度为 $\beta$, 则上述点$x,y$ 相对于点$p_x,p_y$的旋转角度 $\beta$ 的操作使用齐次矩阵表示如下：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & -\sin \beta & p_x(1-\cos \beta )+p_y\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta & p_y(1-\cos \beta )+p_x\sin \beta \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

def trans_rotate(x, y, px, py, beta):beta = np.deg2rad(beta)T = [[np.cos(beta), -np.sin(beta), px*(1 - np.cos(beta)) + py*np.sin(beta)],[np.sin(beta),  np.cos(beta), py*(1 - np.cos(beta)) - px*np.sin(beta)],[0           ,  0           , 1                                      ]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1]*x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)R_ = [0, 225, 40, -10]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0.5, -0.5], [1.1, 1.1]]for i in range(4):beta = R_[i]; px, py = P_[i]x_, y_, _ = trans_rotate(x, y, px, py, beta)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].scatter(px, py)ax[i].set_title(r'$\beta={0}°$ , $p_x={1:.2f}$ , $p_y={2:.2f}$'.format(beta, px, py))ax[i].set_xlim([-2, 2])ax[i].set_ylim([-2, 2])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')plt.show（）

4. 错切 （Shearing）

在2D空间中，对点 $(x,y)$ 相对于另一点 $(p_x,p_y)$进行错切操作，错切一般用于弹性物体的变形处理。 假设沿x 方向与y方向错切参数分别为 ${\lambda }_x，{\lambda }_y$, 则的错切操作可以归纳使用齐次矩阵表示如下：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& {\lambda }_x& -{\lambda }_x{p}_x\\ {\lambda }_y& 1& -{\lambda }_y{p}_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npX, Y = np.mgrid[0:1:5j, 0:1:5j]
x, y = X.ravel(), Y.ravel()def trans_shear(x, y, px, py, lambdax, lambday):T = [[1      , lambdax, -lambdax*px],[lambday, 1      , -lambday*py],[0      , 0      ,  1         ]]T = np.array(T)P = np.array([x, y, [1]*x.size])return np.dot(T, P)fig, ax = plt.subplots(1, 4)L_ = [[0, 0], [2, 0], [0, -2], [-2, -2]]
P_ = [[0, 0], [0, 0], [0, 1.5], [1.1, 1.1]]for i in range(4):lambdax, lambday = L_[i]; px, py = P_[i]x_, y_, _ = trans_shear(x, y, px, py, lambdax, lambday)ax[i].scatter(x_, y_)ax[i].scatter(px, py)ax[i].set_title(r'$p_x={0:.2f}$ , $p_y={1:.2f}$'.format(px, py) + '\n'r'$\lambda_x={0:.2f}$ , $\lambda_y={1:.2f}$'.format(lambdax, lambday))ax[i].set_xlim([-3, 3])ax[i].set_ylim([-3, 3])ax[i].grid(alpha=0.5)ax[i].axhline(y=0, color='k')ax[i].axvline(x=0, color='k')plt.show()

5. 镜像 （Reflection）

对于镜像，对称轴的法向量 $v(v_x,v_y)$, 镜像矩阵 $T_m$表示为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1-2x_v{}^2& -2x_v{y}_v& 0\\ -2x_v{y}_v& 1-2y_v{}^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
另外就是需要一个表示对称轴位置的点(对称轴2点中任意一点)，表示为 $M\left(x_{\mathrm{m}},y_m\right)$，变换矩阵 $H=T_t\ast T_m\ast T_t^{-1}$，即：
$$H=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ x_{\mathrm{m}}& y_m& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1-2x_v{}^2& -2x_v{y}_v& 0\\ -2x_v{y}_v& 1-2y_v{}^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -x_{\mathrm{m}}& -y_m& 1\end{array}\right]$$
镜像后的坐标即为$T_o\ast T_t\ast T_m\ast T_t^{-1}$。

沿 X 轴 镜像的镜像矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$
沿 Y 轴 镜像的镜像矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$

import numpy as npa = np.array([[1, 2],[2, 2],[3, 5],[4, 6]])
a = np.array([a[:,0], a[:,1], np.ones(len(a))])
print("\n",a)
print("--------------------------------")T_x = np.array( [[ 1,  0,  0],[ 0, -1,  0],[ 1,  0,  1]])
print("\n",np.dot(T_x, a))
print("=================================")
T_y = np.array( [[-1,  0,  0],[ 0,  1,  0],[ 0,  1,  1]])
print("\n",np.dot(T_y, a))

参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/387578291
https://zhuanlan.zhihu.com/p/187411029
https://blog.csdn.net/Akiyama_sou/article/details/122144415