线性代数 第四章 线性方程组
一、矩阵形式
经过初等行变换化为阶梯形矩阵。当,有解;当
,有非零解。
有解,等价于
可由
线性表示
克拉默法则:非齐次线性方程组中,系数行列式,则方程组有唯一解,且唯一解为
其中是
中第i列元素(即
的系数)替换成方程组右端的常数项
所构成的行列式。
二、向量形式
方程组有解等价于
可由
表出;
方程组有非零解等价于
线性相关。
三、齐次线性方程组
若A是矩阵,
,则齐次线性方程组
存在基础解系,且基础解系有
个线性无关解向量组成。也就是说,基础解系向量个数+
=n(未知量个数)。
四、非齐次线性方程组
有解条件
(1)无解,等价于
- b不能由A的列向量组
线性表出
(2)有解,等价于
- b可由A的列向量组
线性表出
,即
若线性无关,
线性相关
b可由
线性表出,且表出法唯一
有唯一解。
若线性无关,
线性相关
b可由
线性表出,且表出法不唯一
有无穷多解。
五、解的性质
若是
的解,则
是
的解;
若是
的解,则
是
的解;
若是
的解,
是
的解,则
是
的解。
六、解的结构
特解,通解,自由变量。
如果有方程组就加减消元、讨论参数,求解;
如果没有方程组就大概需求秩,用解的结构来分析推理来求解。
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