高数：数列的收敛

数列特点

1. 无限个数

2. 特定顺序

数列和集合区别

1. 集合可以乱序，数列不行

2. 集合出现重复元素依然相同，数列出现新的重复元素就不相等

[1，2，3，4]=[1，2，3，3，4]
对集合来说相等，对数列来说不相等。

数列的表示形式

求数列的单调性

作差，作商，求导，列举法，把极限和某项比较。

有界数列有上界和下界

如何证明一个数列无界？

eg：比较审敛法

2^n+1>2^n
2^n趋于无穷，2^n+1趋于无穷

证明数列收敛

1. 直接证明数列极限

找出N和的关系

2. 夹逼准则

夹逼准则的推论：如果数列的绝对值趋近于0，数列趋于零。

当数列的符号无法确定时，用绝对值证

3. 洛必达法则，无穷/无穷或0/0

洛必达法则是：量级的比较和同除n^p有异曲同工之妙。

4. 数列单调且有界，数列收敛

数列和的收敛

数列和收敛，数列趋近于0，但数列趋近于0，数列不一定收敛。

积分试验：

被积的函数是递减函数，函数的反常积分收敛，等于函数各项和收敛。

(两个其实表示的都是函数围成的面积。)

使用时先判断是否是递减，在再使用。递减是为了保证大小关系

去掉最左边那一块，右边能全部移到左边，此时曲线面积大于数列和面积，证明反常积分收敛，就能证明数列和收敛(从第二项开始的和收敛和第一项开始收敛是一样的)

比较审敛法：同反常积分。

交错级数判别法：

交错级数：一正一负

1，-2，3，-4...
-1，2，-3，-4……

证明交错级数收敛

证明数列的绝对值：1.单调递减或最终单调递减 2.收敛于0。

一些公式及技巧

单调减的指数函数乘幂函数的收敛于0

证明：一直洛必达法则直到幂函数的系数为0。

由于指数的变化速率太快，使得幂函数的a是1或者k都一样。

的结果

n为项数，C为欧拉常数用来调和级数

习题

累乘无法相消，的极限趋向于1。

这意味着无法对每一项放缩成再相乘只能整体放缩

注意：

巧妙的放缩！