曲线生成 | 图解B样条曲线生成原理(基本概念与节点生成算法)

0 专栏介绍

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1 什么是B样条曲线？

为了解决贝塞尔曲线无法局部修正、控制性减弱、曲线次数过高、不易拼接的缺陷，引入B样条曲线(B-Spline)。对贝塞尔曲线不了解的同学请看曲线生成 | 图解贝塞尔曲线生成原理(附ROS C++/Python/Matlab仿真)

B样条曲线是一种用于表示和描绘曲线的数学工具，它在计算机图形学、计算机辅助设计、计算机动画和数值分析等领域得到广泛应用。其名称中的B代表了基本(basis)，而样条则是在各个领域中广泛应用的一种绘制曲线的技术，例如计算机图形学、物理学模拟、金融和经济分析等。在计算机图形学中，样条通常用于创建平滑的曲线和曲面，以便在三维场景中呈现出更真实的效果。在物理学模拟中，样条可用于描述物体的运动轨迹和变形过程。

B样条曲线的性质包括平滑性、局部控制性、递归计算和多项式插值。通过调整控制点的位置、权重和节点序列，可以改变B样条曲线的形状，从而实现对曲线的精确控制。B样条曲线常用于描述自然曲线和复杂曲线，如汽车外形、飞机机翼、艺术造型等。在计算机图形学中，B样条曲线可以用来生成圆滑的曲线路径，进行形状建模和渲染，以及实现动画效果等。

在运动规划中，B样条曲线也是一种很强大的曲线生成和轨迹优化工具，接下来介绍其基本原理。

2 基函数的de Boor递推式

B样条曲线的核心是具有局部性的基函数(Basic function)——当改变一个控制节点时，只会变动该点旁边有限段曲线(样条曲线则需要重新计算整条曲线，因为它由一组控制点唯一确定)，而非“牵一发动全身”。如图所示给出了B样条与贝塞尔曲线基函数的区别。

采用Cox-de Boor递推定义B样条曲线的基函数

$$N_{i,k}\left(t\right)=\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}{N}_{i,k-1}\left(t\right)+\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}{N}_{i+1,k-1}\left(t\right)$$

其中$N_{i,k}\left(t\right)$称为第$i$个控制节点的$k$次($k+1$阶)B样条基函数，$i=0,1,\cdots ,n-1$，$k⩾1$且规定$0/0=0$。特别地，有

$$N_{i,0}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}1,t\in \left[t_i,t_{i+1}\right)\\ 0,\mathrm{otherwise}\end{array}$$

即高次B样条基函数为若干低次B样条基函数的线性组合。$N_{i,k}\left(t\right)$的次数$k$与控制节点的个数$n$无关，因此B样条曲线自由度更大——允许定义多个控制点而不用担心曲线次数过高导致计算困难。

3 B样条曲线基本概念图解

B样条曲线定义为用基函数加权的控制节点

$$\mathbf{P}\left(t\right)=\sum _{i=0}^{n-1}{\mathbf{p}}_i{N}_{i,k}\left(t\right),t\in \left[t_k,t_n\right)$$

其中 T = { t 0 , t 1 , ⋯ , t m − 1 } T=\left\{ t_0,t_1,\cdots ,t_{m-1} \right\} T={t0​,t1​,⋯,tm−1​}是一个一维单调非递减序列，称为节点向量(knot vector)，其中的元素$t_i$称为节点(knot)，区间$\left[t_i,t_{i+1}\right)$称为第$i$个节点区间(knot range)，节点在样条曲线上的映射$\mathbf{P}\left(t_i\right)$称为曲节点(knot point)。

在节点向量中，若某节点$t_i$出现$l$次，则称$t_i$是重复度为$l$的多重节点，否则为简单节点。与贝塞尔曲线不同，仅当B样条曲线首末节点重复度为$k+1$时，曲线本身才穿过首末控制点。

接下来分析B样条曲线的局部支撑性。基函数$N_{i,k}\left(t\right)$在区间$\left[t_i,t_{i+k+1}\right]$上非零，因为该区间上总存在不为零的零阶基函数$N_{i,0}$，该区间称为支撑区间，对应样条曲线上的区段称为支撑曲线。由于$N_{i,k}\left(t\right)$直接与控制节点${\mathbf{p}}_i$相乘，所以${\mathbf{p}}_i$只影响其支撑区间$\left[t_i,t_{i+k+1}\right]$上对应支撑曲线的形状。所以B样条曲线也可视为若干段贝塞尔曲线的拼接，是贝塞尔曲线的推广，相邻贝塞尔曲线间存在若干重合节点，保留了对称性、几何不变性、变差伸缩性等优良特性。

为使每个控制节点都有合法的支撑区间与之匹配，节点数量应满足

$$m=n+k+1$$

B样条曲线的次数指基函数多项式的最高次数，阶数则可视为控制节点${\mathbf{p}}_i$所影响的节点数。当节点区间$\left[t_i,t_{i+1}\right)$上的非零$k$次基函数达到最大数量$k+1$个时，令其满足

$$\sum _{j=i-k}^i{N}_{j,k}=1$$

称为基函数的加权性质。显然，对于$k$次基函数，节点区间$\left[t_0,t_k\right)$与$\left[t_n,t_{n+k}\right)$上的非零基函数不足$k+1$个，它们的加权和不为零，在这些区间计算B样条曲线会导致错误，因此B样条曲线定义在区间$\left[t_k,t_n\right)$上。如图所示是关于B样条曲线定义区间的实例说明。

4 节点生成公式

B样条曲线由控制节点与节点向量唯一确定，通过改变节点向量中节点的分布特征，可以构造不同类型的B样条曲线

• 均匀B样条曲线(Uniform B-Spline Curve)

  节点向量中的节点沿数轴方向等距离均匀分布，所有节点区间等距，即$t_{i+1}-t_i=\mathrm{const}>0,i=0,1,\cdots ,n+k$

• 准均匀B样条曲线(quasi-Uniform B-Spline Curve)

  节点向量中的首末节点重复度为$k+1$，其余节点沿数轴方向等距均匀分布且重复度为1。可以证明该情况下，当$k=n$时，B样条基函数$N_{i,k}\left(t\right)$退化为伯恩斯坦多项式，即B样条曲线退化为贝塞尔曲线。

• 非均匀B样条曲线(non-Uniform B-Spline Curve)

  节点向量任意分布

节点生成通常有两种方法：

• 均匀法
  $$\{\begin{array}{l}{t}_0=t_1=\cdots =t_k=0\\ t_{k+i}=\frac{i}{n-k+1},i=1,2,\cdots ,n-k-1\\ t_n=t_{n+1}=\cdots =t_{n+k}=1\end{array}$$
  该方法不依赖于参数选择。
• De Boor法
  $$\{\begin{array}{l}{t}_0=t_1=\cdots =t_k=0\\ t_{k+i}=\frac{1}{k}{\sum }_{j=i}^{i+k-1}{u}_j,i=1,2,\cdots ,n-k-1\\ t_n=t_{n+1}=\cdots =t_{n+k}=1\end{array}$$
  该方法对选择的参数进行窗口平滑。

下一节将继续介绍B样条曲线的计算算法——近似和插值应用，并给出代码实现。

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