1.4 条件概率与乘法公式

1.4.1 条件概率

在实际问题中，除了直接考虑某事件 B 发生的概率P(B)外,有时还会碰到这样的问题，就是“在事件A 已经发生的条件下,事件B 发生的概率”。一般情况下,后概率与前一概率不同，为了区别,我们常把后者称为条件概率，记为P(BIA）,读作事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率。 先看一个例子。

【例1.13】 某厂的100件产品中有5件是不合格品,而5件不合格品中有3件次品,2件废品．现从100 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同,求

(1)抽到次品的概率；

(2)在抽到的产品是不合格品的条件下,产品是次品的概率

题解：

例 1.13 条件概率类型一——某工厂次品率

定义1.6 设A 与B是同一样本空间中的两个事件，若P(A)＞0,则称

P(B|A)===

为在事件 A 发生下的事件 B 发生的条件概率

不难验证，条件概率P(•IA)满足概率定义1.5中的三条公理：

(1）非负性：对任意事件 B,P(BIA)≥0

(2）规范性：P(RIA)=1;

(3)可列可加性：设事件B1,B2,…B3,Bn,…两两互不相容,则P(Bi|A)=P(Bi|A).

所以,条件概率P(•lA)也满足概率的其他所有性质.

【例 1.14】 某家庭中有两个孩子,己知其中至少有一个是男孩,求两个都是男孩

的概率(假设男、女孩出生率相同).

解用g代表女孩,6代表男孩，A 一“该家庭中至少有一个男孩”,B

一“两个

都是男孩”，本题求的是条件概率P(BIA)．该家庭两个孩子的情况无非是 66,bg

§6,g§四种情况之一，即2=166,bg,gb,gg),B一^66),A={66,6g，g6〉,所以有

1

P(A) =

3 , P (B) =

4

4

,故

P(AB)

P(B A)=

P(A)

P(B)

P（A

1/4

=1/3.

3/4

注在事件 A 发生条件下,该家庭两个孩子的情況只能是 66,bg,g6三种情况

之一,即此时样本空间缩小为 2一{66,6g,g6)=A,B={66),所以根据古典概型有

P(BIA)=

-这种解法称为求条件概率的缩小样本空问法.

【例 1.15】 设某种动物以出生起活 20 岁以上的概率为 80%，活25 岁以上的概

率为 40%.如果现在有一个 20岁的这种动物,求它能活25 岁以上的概率

解 设事件 A一“该种动物能活 20 岁以上”,事件B一“该种动物能活 25岁以

上”，按题意,P(A)=0.8,由于BCA,所以P(AB)=P(B)=0.4.由条件概率定义

P(B A)

P(AB)

P(A)

0.4

= 0.5.

0.8

1，但

1.4.2 乘法公式

由条件概率公式容易得到下面定理.

定理 11设1 与B是同一样本空间中的两个事件，如果P（A)二0,则P(AB) =P(A)P(BlA).

(1.3

如果P（B)二0,则

PC4B)=PBPCAIB).

上面式（1.3）,式（1.4)均称为事件概率的乘法公式

定理1.1容易推广到任意有限多个事件积事件概率的情况.

例如，若卩(A,Az•A,=1)二0,则

P(A,A,.A,)=PCAPCA,IA PCAs IA A2-PCA, IA,Az•A,-1.

(1.4

(1.5)

事实上,因为

PA,)≥P(A, AD >PCA,A,A,二…≥PCA Az•A13 ≥0,

所以式(1.5)中各条件概率均有意义，由条件概率定义,得

P(A,)PCA, IA,PCA, IAIA2.PCA, IA,A2.An-1

= P(A.) .

P(A,4.)

PCA:A:A,)

PCA,)

••

P(A A •An)

P (A,A,)

PCA,A2.•A,-1)

-PCA A•A,).

【例1.16】 某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随意地拨号•求他拔号

不超过三次而接通电话的概率.

解设A,一“第之次接通电话”,i=1,2,3,B一“拨号不超过了次接通电话”,则

B=AI U A,A, U A A.As.

利用概率的有限可加性和乘法公式，有

P(B)=PCA,)+PCAIAD +P(A,A,A.)

= P(A;) + P (A) P (A2 l A,) + P(A,)P (A2 | A,)P (A, | A, A,)

1

10*

9

10 t.

9

+ %x.

1

= X

3

8

10*

【例 1.17】 猎手在距猎物 10 米处开枪，击中的概率为0.6.若击不中，待开第

枪时猜物已逃至30米远处,此时击中的概率为 0.25,若再击不中,则猎物已逃至 50

米远处,此时只有0.1的击中概率.求猎手三枪内击中猎物的概率

解以A,=“第之枪击中猎物”，i=1,2,3,则所求概率为 PCA UA,UA..

P(A, U A2 U A.) = 1 - P(A, UA, U A.) =1 - P(A, A, A .)

=1 - P(A,) P(A. | A,)P (A, | A, A,)

=1 - [1 - P (A,)J1 - P (A2 | A,)I[1 - P(A, | A, A ,)]

=1 - (1 - 0.6) (1 - 0.25) (1

=01)

=0.73.