欧拉函数、快速幂、扩展欧几里得算法、中国剩余定理和高斯消元

欧拉函数

给定 n 个正整数 a_i，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 ϕ(N)。

若在算数基本定理中，N=p₁^a11p₂^a2…p_m^m，则：ϕ(N) = N×p1−1/p1×p2−1/p2×…×pm−1/pm

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 a_i。

输出格式

输出共 n 行，每行输出一个正整数 a_i 的欧拉函数。

数据范围

1≤n≤100,1≤a_i≤2×10⁹

输入样例

3
3
6
8

输出样例

2
2
4

问题分析

欧拉函数
对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，记作φ(n)

φ(1)=1

求n的欧拉值
首先， 欧拉函数是一个积性函数，当m,n互质时，φ(mn)=φ(m)∗φ(n)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int phi(int x)
{int res=x;for(int i=2;i<=x/i;i++)if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0) x/=i;}if(x>1) res=res/x*(x-1);return res;
}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int x;cin>>x;cout<<phi(x)<<endl;}
}

筛法求欧拉函数

问题描述

给定一个正整数 n，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

数据范围

1≤n≤10⁶

输入样例

6

输出样例

12

问题分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000010;
int primes[N],cnt;
int n;
ll phi[N];
bool st[N];
ll get_eulers(int n)
{phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]){primes[cnt++]=i;phi[i]=i-1;}for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){st[primes[j]*i]=true;if(i%primes[j]==0){phi[primes[j]*i]=phi[i]*primes[j];break;}phi[primes[j]*i]=phi[i]*(primes[j]-1);}}ll res=0;for(int i=1;i<=n;i++)res+=phi[i];return res;
}
int main()
{cin>>n;cout<<get_eulers(n)<<endl;return 0;
}

快速幂

问题描述

给定 n 组 a_i,b_i,p_i，对于每组数据，求出 a_i^b_imodp_i的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,pi。

输出格式

对于每组数据，输出一个结果，表示 a_i^b_imodp_i的值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n≤100000,1≤ai,bi,pi≤2×10⁹

输入样例

2
3 2 5
4 3 9

输出样例

4
1

问题分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmi(ll a,ll b,ll c)
{ll res=1;while(b){if(b & 1) res=res*a%c;a=a*a%c;b>>=1;}return res;
}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){ll a,b,c;cin>>a>>b>>c;cout<<qmi(a,b,c)%c<<endl;}return 0;
}

快速幂求逆元

问题描述

给定 n 组 a_i,p_i，其中 p_i 是质数，求 a_i 模 p_i 的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义
若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 ab≡a×x(modm)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2即为 b 的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 a_i,p_i，数据保证 p_i是质数。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出impossible。

数据范围

1≤n≤105,1≤ai,pi≤2∗109

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

问题分析

代码

快速幂求逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmi(ll a,ll b,ll p)
{ll res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%p;a=a*a%p;b>>=1;}return res;
}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){ll a,c;cin>>a>>c;if(a%c==0) cout<<"impossible"<<endl;else cout<<qmi(a,c-2,c)<<endl;}return 0;
}

扩展欧几里得算法求逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if (!b) {x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}
int main()
{cin >> n;while (n --){int a, p, x, y;cin >>  a >> p;int d = exgcd(a, p, x, y);if (d == 1) cout << ((LL)x + p) % p << endl;//保证x是正数else puts("impossible");}return 0;
}

扩展欧几里得算法

问题描述

给定 n 对正整数 a_i,b_i，对于每对数，求出一组 x_i,y_i，使其满足 a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含两个整数 a_i,b_i。

输出格式

输出共 n 行，对于每组 a_i,b_i，求出一组满足条件的 x_i,y_i，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 x_i,y_i 均可。

数据范围

1≤n≤10⁵,1≤a_i,b_i≤2×10⁹

输入样例

2
4 6
8 18

输出样例

-1 1
-2 1

问题分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int a,b;cin>>a>>b;int x,y;exgcd(a,b,x,y);cout<<x<<" "<<y<<endl;}return 0;
}

线性同余方程

问题描述

给定 n 组数据 a_i,b_i,m_i，对于每组数求出一个 x_i，使其满足 a_i×x_i≡b_i(mod m_i)，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组数据 a_i,b_i,m_i。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 x_i，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 int 范围之内。

数据范围

1≤n≤10⁵,1≤ai,bi,mi≤2×10⁹

输入样例

2
2 3 6
4 3 5

输出样例

impossible
-3

问题分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int a,b,m;int x,y;cin>>a>>b>>m;int d=exgcd(a,m,x,y);if(b%d) cout<<"impossible"<<endl;else cout<<(ll)x*b/d%m<<endl;}return 0;
}

表达整数的奇怪方式(中国剩余定理)

问题描述

给定 2n 个整数 a₁,a₂,…,a_n 和 m₁,m₂,…,m_n，求一个最小的非负整数 x，满足 ∀i∈[1,n],x≡mi(mod ai)。

输入格式

第 1 行包含整数 n。

第 2…n+1 行：每 i+1 行包含两个整数 a_i和 m_i，数之间用空格隔开。

输出格式

输出最小非负整数 x，如果 x 不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤a_i≤2_31-1,0≤m_i<a_i,1≤n≤25

所有 m_i 的最小公倍数在 64 位有符号整数范围内。

输入样例

2
8 7
11 9

输出样例

31

问题分析

1. 将式子等价转换

对于每两个式子（我们考虑将其合并）:

x≡m1(% a1)
x≡m2(% a2)
则有：

x=k1∗a1+m1
x=k2∗a2+m2

进一步：

k1∗a1+m1=k2∗a2+m2

移项：

k1∗a1−k2∗a2=m2−m1

也就是：

①k1∗a1+k2∗(−a2)=m2−m1

也就是我们需要找到一个最小的k1,k2，使得等式成立（因为要求x最小，而a和m都是正数）。

2. 用扩展欧几里得算法找出一组解

我们已知a1,m1,a2,m2，可以用扩展欧几里得算法算出一个k′1,k′2使得：

k′1∗a1+k′2∗(−a2)=gcd(a1,−a2)

无解判断：
若gcd(a1,−a2)∤m2−m1，则无解。

我们设d=gcd(a1,−a2),y=(m2−m1)/d

承接上文，我们只需让k1,k2分别扩大y倍，则可以找到一个k1,k2满足①式：

k1=k′1∗y,k2=k′2∗y

3. 找到最小正整数解

我们知道一个性质：

②k1=k1+k∗a2d

k2=k2+k∗a1d

为任意整数，这时新的k1,k2仍满足①式。

证明：
将新的k1,k2带入式子得:

(k1+k*a2d)∗a1+(k2+k*a1d)*(−a2)=m2−m1

拆出来：

k1*a1+k*a2*a1d+k2*(−a2)+k*a1*(−a2)d=m2−m1

交换一下顺序，把负号拆出来：

k1*a1+k2*(−a2)+k*a2*a1d−k*a1*a2d=m2−m1

那个同加同减可以消掉：

k1*a1+k2*(−a2)=m2−m1

这个式子和①是一样的，因①成立，故此式也成立。

要找一个最小的非负整数解，我们只需要让

k1=k1% abs(a2/d)

k2=k2% abs(a1/d)

即可找到当前最小的k1,k2的解，即此时的k为0。

Q：此处为什么要取绝对值呢

A:因为不知道a2/d的正负性，我们在原基础上要尽量减多个abs(a2/d)，使其为正整数且最小。

4. 等效替代：
   由②式带入新的x为：

x=(k1+k∗a2d)∗a1+m1

=k1∗a1+m1+k∗a2∗a1d

=k1∗a1+m1+k∗lcm(a1,a2)③

Q:这里，k都为0了，为什么还要算呢？

因为这只是前两个式子得最小k，有可能遇到下一个式子后面被迫要扩大

在③中，我们设a0=lcm(a1,a2),m0=k1∗a1+m1

那么：

③ =k∗a0+m0

这个形式与一开始我们分解的形式是不是特别像呢？

没错！假设之后又来了一个a3,m3
我们只需要继续找：

x=k∗a0+m0=k3∗(−a3)+m3，那么问题又回到了第一步。

5. 总结

我们的做法相当于每次考虑合并两个式子，将这n个式子合并n−1次后变为一个式子。最后剩下的式子就满足我们的答案。

注意：
lcm(a1,a2)和%a2/d，需要取绝对值。又因为d=gcd(a1,−a2)，我们不知道a1
的正负性（可能是上一步推过来的）。
%a2/d，需要取绝对值， 模负数的话，不会取到正解；

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{if(!b){x=1,y=0;return a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;
}
int main()
{int n;cin>>n;ll x=0,m1,a1;cin>>m1>>a1;for(int i=0;i<n-1;i++){ll m2,a2;cin>>m2>>a2;ll k1,k2;ll d=exgcd(m1,m2,k1,k2);if((a2-a1)%d){x=-1;break;}k1*=(a2-a1)/d;k1=(k1%(m2/d)+m2/d)%(m2/d);x=k1*m1+a1;ll m=abs(m1/d*m2);a1=k1*m1+a1;m1=m;}if(x!=-1) x=(a1%m1+m1)%m1;cout<<x<<endl;return 0;
}

高斯消元解线性方程组

问题描述

输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
下图为一个包含 m 个方程 n 个未知数的线性方程组示例：

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解，结果保留两位小数。

如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围

1≤n≤100,所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100。

输入样例

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出样例

1.00
-2.00
3.00

问题分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
const double eps=1e-8;
double a[N][N];
int n;
int gauss()
{int c,r;for(c=0,r=0;c<n;c++){int t=r;for(int i=r;i<n;i++) // 找绝对值最大的行if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c]))t=i;// 如果当前这一列的最大数都是 0 ，那么所有数都是 0//就没必要去算了，因为它的约束方程，可能在上面几行if(fabs(a[t][c])<eps) continue;// 将绝对值最大的行换到最顶端for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[t][i],a[r][i]);for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];for(int i=r+1;i<n;i++)if(fabs(a[i][c])>eps)for(int j=n;j>=c;j--)a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];r++;}if(r<n){for(int i=r;i<n;i++)if(fabs(a[i][n])>eps)return 2;return 1;}for(int i=n-1;i>=0;i--)for(int j=i+1;j<n;j++)a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];return 0;
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n+1;j++)cin>>a[i][j];int t=gauss();if(t==2) cout<<"No solution"<<endl;else if(t==1) cout<<"Infinite group solutions"<<endl;else{for(int i=0;i<n;i++)printf("%.2lf\n",a[i][n]);}return 0;
}

高斯消元解异或线性方程组

问题描述

输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的异或线性方程组。
方程组中的系数和常数为 0 或 1，每个未知数的取值也为 0 或 1。

求解这个方程组。

异或线性方程组示例如下：

其中 ^ 表示异或(XOR),M[i][j]表示第 i个式子中 x[j]的系数，B[i] 是第 i 个方程右端的常数，取值均为 0 或 1。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含 n+1 个整数 0 或 1，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出格式

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解。

如果给定线性方程组存在多组解，则输出 Multiple sets of solutions。

如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

数据范围

1≤n≤100

输入样例

3
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1

输出样例

1
0
0

问题分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int n;
int a[N][N];
int gauss()
{int c,r;for(c=0,r=0;c<n;c++){int t=r;for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][c])t=i;if(!a[t][c]) continue;for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[r][i],a[t][i]);for(int i=r+1;i<n;i++)if(a[i][c])for(int j=n;j>=c;j--)a[i][j]^=a[r][j];r++;}if(r<n){for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][n])return 2;return 1;}for(int i=n-1;i>=0;i--)for(int j=i+1;j<n;j++)a[i][n]^=a[i][j]*a[j][n];return 0;
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n+1;j++)cin>>a[i][j];int t=gauss();if(t==0){for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i][n]<<endl;}else if(t==1) cout<<"Multiple sets of solutions"<<endl;else cout<<"No solution"<<endl;return 0;
}