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傅里叶级数，傅里叶变换

news 2026/3/31 16:56:20

先读文章：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 - 知乎 (zhihu.com)

傅里叶级数

一、内容：每个周期性函数都可以表示为无穷多个不同频率的正弦函数的叠加。

二、公式：f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\Sigma a_{n}sin(n\omega t+\varphi _{n})=\frac{a_{0}}{2}+\Sigma a_{n}sin(n\omega t)+\Sigma b_{n}cos(n\omega t)

三、从时域到频域所保留的三点信息：

（1）频率

（2）每个频率所在的振幅

（3）每个频率所在的相位

四、标准正交基为：

（1）1

（2）sin(n\omega t)

（3）cos(n\omega t)

相互之间的内积（乘积在-pi到pi上的定积分）都等0

傅里叶变换

欧拉公式：cos(\theta )+isin(\theta )=e^{i\theta }，表示在复平面单位圆上逆时针旋转\theta^{^{\circ}}.

\theta =\omega t\Rightarrow cos(\omega t )+isin(\omega t)=e^{i\omega t }

傅里叶变换公式：F(\omega )=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt

这个公式是怎么来的：

我们知道f(t) 中包含所有频率，每个频率都具有相应相位和振幅，而傅里叶变换的目的就是找到每个频率下的相位和振幅，表示为F(\omega )。从上面傅里叶级数的表示公式可以看出，振幅和相位就是通过a_{n}和b_{n}表示的。傅里叶变换的公式的目的就是找到每个频率所对应的a_{n}和b_{n}。

f(t) 包含所有频率，每个频率都有一个sin和一个cos（为保证每个频率对应的都有相位信息）

e^{-i\omega t}仅包含一个频率，由欧拉公式（cos(\omega t )-isin(\omega t)=e^{-i\omega t }）可知频率为\omega.

每个频率分量相互都正交，所以e^{-i\omega t}将f(t)中频率为\omega的部分抽取了出来，最终得到a_{n}和b_{n}的信息。

在一些情况下，只考虑a_{n}表示振幅与频率的关系，b_{n}并不用，因为在一些应用中相位用处不大。

而要知道相位信息，a_{n}和b_{n}两者都需要。

参考视频：B站首发！草履虫都能看懂的【傅里叶变换】讲解，清华大学李永乐老师教你如何理解傅里叶变换，辨清美颜和变声原理，！！_哔哩哔哩_bilibili

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