【LeetCode】动态规划—删除并获得点数（附完整Python/C++代码）

前言

给你一个整数数组 $nums$ ，你可以对它进行一些操作。

每次操作中，选择任意一个 $nums[i]$ ，删除它并获得 $nums[i]$ 的点数。之后，你必须删除 所有 等于 $nums[i]-1$ 和$ nums[i] + 1$ 的元素。

开始你拥有 $0$ 个点数。返回你能通过这些操作获得的最大点数。

题目描述

基本思路

1. 问题定义:

在这个问题中，我们有一个数组 $nums[]$，每个元素代表一个数字。你可以选择删除某个数字 $x$ ，并获得 $x$ 点数。然而，每当你删除一个数字 $x$ ，与 $x$ 相邻的数字 $x-1$ 和 $x+1$ 也会从数组中删除。问题要求的是：你通过删除数字获得的最大点数是多少?

2. 理解问题和递推关系:

这个问题类似于"打家劫舍"问题，可以转化为一个动态规划问题。每次删除某个数字时，你既获得了它的值，也会让相邻的数字无法再被选择。因此，可以把问题转化为：每个数 $x$ 要么选择，要么跳过。

我们将问题理解为两个选择:

1. 选择删除某个数字 $x$ ：那么你会获得 $x$ 出现的总值 $x$ *出现次数，同时不能再选择 $x-1$ 和 $x+1$ 。
2. 不选择删除某个数字 $x$ ：那么你可以选择去考虑删除其他数字。

为了将问题转化成打家劫舍的形式:

1. 我们可以对 $nums[]$ 进行预处理，统计每个数 $x$ 的出现次数，然后构建一个数组 $earn[]$，其中 $earn[x]=x\ast$ 出现次数。
2. 现在，问题转化为：给定一个数组 $earn[]$，从中选择不相邻的数，使得获得的总和最大。这就是"打家劫舍"问题的典型形式。

3. 解决方法:

1. 预处理：首先统计 $nums[]$ 中每个数字的出现次数，并构建 $earn[]$，即 $earn[x]=\mathrm{x}\ast$ 出现次数。
2. 递推公式：我们使用动态规划来解决该问题，设 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个数字的最大点数。那么：

$$dp[i]=\max (dp[i-1],dp[i-2]+\mathrm{earn}[i])$$

解释:

• $dp[i-1]$ 表示我们不删除数字 $i$，因此直接继承前面的最大值。
• $dp[i-2]+earn[i]$ 表示我们删除了数字 $i$，因此需要加上 $earn[i]$，同时要跳过 $i-1$。

3. 边界条件:

• 如果数组为空，直接返回 $0$ 。
• 如果数组只有一个元素，那么返回该元素对应的 $earn$ 值。

4. 进一步优化:

在上述方法中，我们使用了一个数组 $dp[]$ 来保存每个位置的最大点数。但实际上， $dp[i]$ 只依赖于 $dp[i-1]$ 和 dp[i-2]，因此可以通过使用两个变量来优化空间复杂度，从 $O(n)$ 降低到 $O(1)$ 。

• 时间复杂度： $O(n)$ ，因为我们需要遍历数组构建 $earn[]$，以及进行动态规划。
• 空间复杂度：通过优化后可以降低到 $O(1)$ ，只需要常量空间保存前两个状态。

5. 小总结:

• 问题核心：通过删除某个数获得它的总值，并且不能删除与它相邻的数。这个问题转化为典型的动态规划问题。
• 动态规划：通过计算每个数出现的总值 $earn[x]$，将问题简化为选择不相邻的数求最大和的问题。
• 优化：使用两个变量保存前两个状态，减少空间消耗。

以上就是删除并获得点数问题的基本思路。

代码实现

Python3代码实现

class Solution:def deleteAndEarn(self, nums: list[int]) -> int:if not nums:return 0# 统计每个数字的总收益max_num = max(nums)earn = [0] * (max_num + 1)for num in nums:earn[num] += num# 使用动态规划来解决打家劫舍问题prev2, prev1 = 0, 0for i in range(len(earn)):current = max(prev1, prev2 + earn[i])prev2 = prev1prev1 = currentreturn prev1

Python 代码解释

1. 边界条件：如果 $nums[]$ 为空，直接返回 $0$。
2. 统计：我们遍历 $nums[]$，构建 $earn[]$，其中 $earn[x]=x\ast$ 出现次数。
3. 动态规划：通过 $prev2$ 和 $prev1$ 来存储前两个状态的最大值，然后根据递推公式依次更新，最终返回 $prev1$ 即为最大值。

C++代码实现

class Solution:def deleteAndEarn(self, nums: list[int]) -> int:if not nums:return 0# 统计每个数字的总收益max_num = max(nums)earn = [0] * (max_num + 1)for num in nums:earn[num] += num# 使用动态规划来解决打家劫舍问题prev2, prev1 = 0, 0for i in range(len(earn)):current = max(prev1, prev2 + earn[i])prev2 = prev1prev1 = currentreturn prev1

C++ 代码解释

1. 边界条件：如果 $nums[]$ 为空，直接返回 $0$。
2. 统计：构建 $earn[]$ 数组，存储每个数字的总收益。
3. 动态规划：使用两个变量 $prev2$ 和 $prev1$ 来分别存储前两个状态的最大收益，遍历数组 $earn[]$，最终返回 $prev1$。

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总结:

• 动态规划是解决此类问题的核心，将删除数字及其邻居的问题转化为典型的选择不相邻数的问题。
• 优化空间：通过使用常量空间，减少了数组存储的开销，使得算法在时间和空间上都更高效。