【机器学习】线性回归

前言

线性回归：是一种通过属性的线性组合来进行预测的线性模型
其目的是找到一条直线或者一个平面或者更高维的超平面，使得预测值与真实值之间的误差最小化。

一、单变量线性回归

1.导入必要的库

导入pandas、numpy和matplotlib.pyplot库

import pandas as pd  #导入pandas库
import numpy as np   #导入numpy库
import matplotlib.pyplot as plt   #导入matplotlib.pyplot库
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']   #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False    #用来正常显示负号

2.读取数据

使用pandas库的read_csv()函数读取数据文件，数据文件中包含了人口和收益两列数据

data=pd.read_csv(r"d:线性回归/regress_data1.csv")   #读取数据

3.绘制散点图

使用data.plot()函数绘制散点图，展示人口与收益之间的关系

data.plot(kind="scatter",x="人口",y="收益")    #绘制散点图
plt.xlabel("人口",fontsize=10)                 #横坐标
plt.ylabel("收益",fontsize=10)                 #纵坐标
plt.title("人口与收益之间的关系")              #标题
plt.show()     #画图

4.划分数据

这里是为了方便后面计算，将一列全为1的列插入到数据中
将数据分为训练集和测试集，这里只使用了训练集

data.insert(0,"ones",1)    #插入列，便于后面计算
col_num=data.shape[1]      #训练特征个数
m=data.shape[0]            #训练标签个数
X=data.iloc[:,:col_num-1].values    #训练集的特征
y=data.iloc[:,col_num-1].values     #训练集的标签
y=y.reshape((m,1))                  

5.定义模型函数

定义h(X,w)函数用来计算模型预测值，这里采用的是线性模型

def h(X,w):return X@w

6.定义损失函数

定义cost(X,y,w)函数用来计算模型误差

def cost(X,y,w):return np.sum(np.power(h(X,w)-y,2))/(2*m)

7.求权重向量w

7.1 梯度下降函数

定义函数gradient_descent(X,y,w,n,a)用来执行梯度下降算法，更新权重向量w，并返回最终的权重向量和误差列表

def gradient_descent(X,y,w,n,a):t=wcost_lst=[]for i in range(n):error=h(X,w)-yfor j in range(col_num-1):t[j][0]=w[j][0]-((a/m)*np.sum(error.ravel()*X[:,j].ravel()))w=tcost_lst.append(cost(X,y,w))return w,cost_lst

7.2 最小二乘法

定义函数least_square(X,y)用来执行最小二乘法，直接求出权重向量w，但是当n>10000时由于时间复杂度太大将导致程序运行超时

def least_square(X,y):w=np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@yreturn w

8.训练模型

调用gradient_descent()函数训练模型，并输出误差随迭代次数变化的图像，用来观察模型的学习效果
其中，迭代次数越大，训练效果越好，学习率适中，既不可太大，也不可过小

n=10000    #迭代次数越多越好
a=0.003    #学习率适中，不能太大，也不能太小
w=np.zeros((col_num-1,1))  #初始化权重向量
w,cost_lst=gradient_descent(X,y,w,n,a)   #调用梯度下降函数
plt.plot(range(n),cost_lst,"r-+")
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("误差")
plt.show()

9.绘制预测曲线

使用训练好的权重向量w绘制预测曲线，并将其与原始数据一起绘制在图像上，用来观察模型的预测效果

x=np.linspace(data["人口"].min(),data["人口"].max(),50)   #预测特征
y1=w[0,0]*1+w[1,0]*x      #预测标签
plt.scatter(data["人口"],data["收益"], label='训练数据')     #训练集
plt.plot(x,y1,"r-+",label="预测线")                         #预测集
plt.xlabel("人口",fontsize=10)
plt.ylabel("收益",fontsize=10)
plt.title("人口与收益之间的关系")
plt.show()

10.试试正则化

使用L2正则化（岭回归）防止过拟合

def gradient_descents(X,y,w,n,a,l):t=wcost_lst=[]for i in range(n):error=h(X,w)-yfor j in range(col_num-1):t[j][0]=w[j][0]-((a/m)*(np.sum(error.ravel()*X[:,j].ravel())+2*l*w[j,0]))w=tcost_lst.append(cost(X,y,w))return w,cost_lst
n=10000    #迭代次数越多越好
a=0.003    #学习率适中，不能太大，也不能太小
l=1        #λ
w=np.zeros((col_num-1,1))
w,cost_lst=gradient_descents(X,y,w,n,a,l)
plt.plot(range(n),cost_lst,"r-+")
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("误差")
plt.show()

11.绘制预测曲线

使用训练好的权重向量w绘制预测曲线，并将其与原始数据一起绘制在图像上，用来观察模型的预测效果

x=np.linspace(data["人口"].min(),data["人口"].max(),50)
y1=w[0,0]*1+w[1,0]*x
plt.scatter(data["人口"],data["收益"], label='训练数据')
plt.plot(x,y1,"r-+",label="预测线")
plt.xlabel("人口",fontsize=10)
plt.ylabel("收益",fontsize=10)
plt.title("人口与收益之间的关系")
plt.show()

12.试试sklearn库

import pandas as pd  #导入pandas库
import numpy as np   #导入numpy库
import matplotlib.pyplot as plt   #导入matplotlib.pyplot库 
import sklearn       #导入sklearn库
from sklearn import linear_model
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']   #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False    #用来正常显示负号
# 2.读取数据：使用pandas库的read_csv()函数读取数据文件。数据文件中包含了人口和收益两列数据。
data=pd.read_csv(r"d:线性回归/regress_data1.csv")   #读取数据    
data.insert(0,"ones",1)    #插入列
col_num=data.shape[1]      #列数
m=data.shape[0]            #行数
# 5.划分数据：将数据分为训练集和测试集，这里只使用了训练集。
X=data.iloc[:,:col_num-1].values    #训练集的特征
y=data.iloc[:,col_num-1].values     #训练集的标签
y.reshape((m,1))
mod=linear_model.LinearRegression()
mod.fit(X,y)
Y=mod.predict(X)
plt.scatter(X[:,1],y,marker='o',color='b')
plt.plot(X,Y,marker='+',color='r')
plt.xlabel("人口")
plt.ylabel("收益")
plt.show()

二、多变量线性回归

1.导入库

import pandas as pd  #导入pandas库
import numpy as np   #导入numpy库
import matplotlib.pyplot as plt   #导入matplotlib.pyplot库
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']   #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False    #用来正常显示负号

2.读取数据

datas=pd.read_csv(r"d:/线性回归/regress_data2.csv")   #读取数据
datas=(datas-datas.mean())/datas.std()     #正则化

3.划分数据

datas.insert(0,'ones',1)          #插入列
col_num=datas.shape[1]            #训练特征个数
m=datas.shape[0]                  #训练标签
X=datas.iloc[:,:col_num-1].values  #训练特征
y=datas.iloc[:,col_num-1].values   #训练标签
y=y.reshape((m,1))                 

4.定义假设函数

def h(X,w):return X@w

5.定义损失函数

def cost(X,y,w):return np.sum(np.power(h(X,w)-y,2))/(2*m)

6.定义梯度下降函数

def gradient_descent(X,y,w,n,a):t=wcost_lst=[]for i in range(n):error=h(X,w)-yfor j in range(col_num-1):t[j,0]=w[j,0]-((a/m)*np.sum(error.ravel()*X[:,j].ravel()))w=tcost_lst.append(cost(X,y,w))return w,cost_lst

7.训练模型

n=1000           #迭代次数
a=0.01           #学习率
w=np.zeros((col_num-1,1))     #初始化特征向量w
w,cost_lst=gradient_descent(X,y,w,n,a)
plt.plot(range(n),cost_lst,'r+-')
plt.xlabel("迭代次数")
plt.ylabel("误差")
plt.show()

8.运用sklearn绘图

import pandas as pd  
import numpy as np   
import matplotlib.pyplot as plt   
from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']   
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    
# 读取数据
datas = pd.read_csv(r"d:线性回归/regress_data2.csv")
datas = (datas - datas.mean()) / datas.std()
X = datas.iloc[:, :-1].values
y = datas.iloc[:, -1].values.reshape(-1, 1)
# 多项式回归
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
X_poly = poly.fit_transform(X)
mod = linear_model.LinearRegression()
mod.fit(X_poly, y)
# 绘制拟合曲线
x1 = np.linspace(datas["面积"].min(), datas["面积"].max(), 50)
x2 = np.linspace(datas["房间数"].min(), datas["房间数"].max(), 50)
x1, x2 = np.meshgrid(x1, x2)
X_grid = np.column_stack((x1.flatten(), x2.flatten()))
X_grid_poly = poly.fit_transform(X_grid)
y_pred = mod.predict(X_grid_poly)
fig=plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], y, marker='o', color='b')
ax.plot_surface(x1, x2, y_pred.reshape(x1.shape), cmap='coolwarm')
ax.set_title("价格随面积与房间数的变化曲面")
ax.set_xlabel("面积")
ax.set_ylabel("房间数")
ax.set_zlabel("价格")
plt.show()

总结

线性回归三大要素

1. 假设函数 h(X,w)
2. 损失函数 cost(X,y,w)
3. 梯度下降/最小二乘函数（求解权重向量w的函数）

普通线性回归步骤

1. 导入库
2. 读取数据
3. 划分数据
4. 假设函数（模型函数）
5. 损失函数
6. 梯度下降/最小二乘
7. 训练模型
8. 绘图预测

调用sklearn库进行线性回归的步骤

1. 导入库
2. 读取数据
3. 调用sklearn库
4. 绘图