线性代数书中求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组方法的特点和缺陷(附实例讲解)

目录

一、克拉默法则

1. 方法概述

2. 例16(1) P45

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵是方阵

(2) 只适用于行列式非零

(3) 只适用于唯一解的情况

(4) 只适用于非齐次线性方程组

二、逆矩阵

1. 方法概述

2. 例16(2) P45

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵必须是方阵且可逆

(2) 只适用于唯一解的情况

(3) 只适用于非齐次线性方程组

三、高斯-约旦消元法

1. 方法概述

2. 例14 P65

3. 特点

(1) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

四、高斯-约旦消元法+定理3

1. 定理3

​2. 方法概述

3. 例13(解法一) P75

3. 特点

(1) 适用于系数或者常数中含有未知数的情况

(2) 可根据定理3判断解的情况

(3) 对于无穷多解的情况，可给出通解

(4) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

五、行列式法+定理3

1. 方法概述

2. 例13(解法二) P75

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵为方阵的情况

(2) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

(3) 先得出惟一解的情况，再求得无解和无穷多解的情况

参考资料

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方法不分先后，按书中顺序给出：
首先，书上对于齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解题方法有以下：

克拉默法则

逆矩阵

高斯-约旦消元法

高斯-约旦消元法+定理3

行列式法+定理3

一、克拉默法则

1. 方法概述

2. 例16(1) P45

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵是方阵

因为克拉默法则先要判断系数矩阵的行列式是否为0，行列式必须是方阵，所以说如果系数矩阵不是方阵，无法适用克拉默法则。

(2) 只适用于行列式非零

(3) 只适用于唯一解的情况

(4) 只适用于非齐次线性方程组

克拉默法则需要用常数列替换系数方阵列，如果常数项全为0，那么替换得到的行列式全为0，再除以|A|得到的解全是0，无意义。

二、逆矩阵

1. 方法概述

2. 例16(2) P45

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵必须是方阵且可逆

因为先要用|A|是否为0来判断A是否可逆，才能进行左乘A逆的操作。

(2) 只适用于唯一解的情况

由于可逆矩阵的唯一性

(3) 只适用于非齐次线性方程组

如果常数项矩阵全为0，求出来的全为0解，无意义。

三、高斯-约旦消元法

1. 方法概述

2. 例14 P65

3. 特点

(1) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

四、高斯-约旦消元法+定理3

1. 定理3

2. 方法概述

高斯-约旦消元法化简增广矩阵(A,b)，定理3判断解的情况

3. 例13(解法一) P75

虽然解法一中要求的是化为行阶梯形矩阵，但就我做过的题来看，能化到多简就化到简。

3. 特点

(1) 适用于系数或者常数中含有未知数的情况

(2) 可根据定理3判断解的情况

(3) 对于无穷多解的情况，可给出通解

(4) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

五、行列式法+定理3

1. 方法概述

用系数矩阵的方阵的行列式不等于0的情况求出未知数的解，系数方阵的行列式不等于0的情况本身就是惟一解的情况(逆矩阵的唯一性)，其余的情况就是无解和无穷多解，结合定理3验证即可。

2. 例13(解法二) P75

3. 特点

(1) 只适用于系数矩阵为方阵的情况

(2) 同时适用于齐次线性方程组和非齐次线性方程组

(3) 先得出惟一解的情况，再求得无解和无穷多解的情况

参考资料

同济大学数学系. 工程数学 线性代数 第六版. 高等教育出版社. 2014
高斯-若尔当消元法_百度百科