Day24 洛谷普及2004（内涵前缀和与差分算法）

零基础洛谷刷题记录

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领地选择

2004：题目描述

作为在虚拟世界里统帅千军万马的领袖，小 Z 认为天时、地利、人和三者是缺一不可的，所以，谨慎地选择首都的位置对于小 Z 来说是非常重要的。
首都被认为是一个占地 C×C 的正方形。小 Z 希望你寻找到一个合适的位置，使得首都所占领的位置的土地价值和最高。

2004:AC代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>int main()
{static int arr[1005][1005];int ditu_kuan, ditu_chang, shoudu_bianchang;scanf("%d %d %d", &ditu_kuan, &ditu_chang, &shoudu_bianchang);for (int i = 1; i <= ditu_kuan; i++){for (int j = 1; j <= ditu_chang; j++){scanf("%d", &arr[i][j]);}}int shoudu_hang = 0, shoudu_zhong = 0;int max = 0;for (int i = 1; i <= ditu_chang - shoudu_bianchang + 1;i++){for (int j = 1; j <= ditu_kuan - shoudu_bianchang + 1;j++){int jiazhi = 0;int hang = i;while (hang <= i + shoudu_bianchang - 1){int lie = j;while (lie < j + shoudu_bianchang){jiazhi += arr[hang][lie];lie++;}hang++;}if (jiazhi > max){shoudu_hang = i;shoudu_zhong = j;max = jiazhi;}}}printf("%d %d\n", shoudu_hang, shoudu_zhong);return 0;
}

2004：学习成果

• 是一道简单的比较题，但是对时间复杂度如何优化呢

一维前缀和

算法：一维前缀和

• 对于数组arr={1,3,7,5,2}，进行q次询问，例如询问【2，4】、【0，3】、【3，4】求和，会有几个数的和进行了重复的计算，时间复杂度是0（nq）
• 前缀和数组的撰写：

> 若 arr={1，3，7，5，2}
> 则 sum{1，1+3=4，7+4=11，11+5=16，16+2=18}
> 其中sum【i】=sum【0】+sum【1】+...+sum【i】=sum【i-1】+arr【i】
> 由此得到arr【i】+arr【i+1】+...+arr【j】=sum【j】-sum【i-1】

一维差分

算法：一维差分

• 对于数组arr={1,3,7,5,2}，进行m次操作，给区间【i，j】中的每个元素都+value，并询问arr的更新结果，复杂度为O（mn）
• 优化思路：由于我们只关心各种操作的结果，而不关心过程（例如对a-5+3+1-2其实就是a-3）
• 引入差分数组

> 对于arr={1，3，7，5，2}
> 差分数组d={1，2，4，-2，-3}
> 观察前缀和数组sum_d={1,3,4,7,2}
> 总结：前缀和是差分的逆运算

• 差分标记

[L,R]+value = d[L]+value,d[R+1]+value//中间都+ value 所以中间差分是不变的，d[R+1]可能不存在
此时时间复杂度变为O(2m+n)

二维前缀和

算法：二维前缀和

• 对于二维矩阵arr【10】【10】，若想计算由arr【2】【2】和arr【5】【5】围成的矩阵元素的和，原始做法就是一个一个累加，时间复杂度为O(mn)
• 优化思路：利用二维前缀和将问题转化为【0，0】到【i，j】的提取算好的简单计算
• 计算公式

sum（【i】【j】到【m】【n】）=sum【m】【n】-sum【i-1】【j】-sum【i】【j-1】+sum【i-1】【j-1】//没写哪到哪，默认（0，0），注意i-1和j-1的越界情况，也可以把下标从1开始避免越界的问题

• 二维前缀和数组的构造

就是利用上面的计算公式即可得到

算法：二维差分

• 对于二维矩阵arr【10】【10】，若想计算由arr【2】【2】和arr【5】【5】围成的矩阵元素都+3，再将由arr【1】【1】和arr【3】【4】围成的矩阵元素都-6，原始做法就是一个一个加，再一个一个减，时间复杂度为O(mn)
• 优化思路：利用差分进行差分标记，将内部的加减转化为差分边界的加减
• 差分标记的影响：将d【i】【j】+1，会导致d【i】【j】的右下角矩阵元素都+1
• 差分标记的公式：

在n×n的矩阵中，将arr【i】【j】到arr【m】【l】的元素都+value，则
d【i】【j】+value
d【i】【l+1】-value
d【m+1】【j】-value
d【m+1】【l+1】+value

2004：代码优化

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>int main()
{static long long int arr[1005][1005];int ditu_kuan, ditu_chang, shoudu_bianchang;scanf("%d %d %d", &ditu_kuan, &ditu_chang, &shoudu_bianchang);for (int i = 1; i <= ditu_kuan; i++){for (int j = 1; j <= ditu_chang; j++){scanf("%lld", &arr[i][j]);}}//构建二维前缀和数组static long long int sum[1005][1005] = { 0 };for (int i = 1; i <= ditu_kuan; i++){for (int j = 1; j <= ditu_chang; j++){sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + arr[i][j];}}int shoudu_hang = 0, shoudu_zhong = 0;long long int max = 0;for (int i = shoudu_bianchang; i <= ditu_chang; i++){for (int j = shoudu_bianchang; j <= ditu_kuan; j++){if (sum[i][j] - sum[i][j - shoudu_bianchang] - sum[i - shoudu_bianchang][j] + sum[i - shoudu_bianchang][j - shoudu_bianchang] > max){shoudu_hang = i - shoudu_bianchang + 1;shoudu_zhong = j - shoudu_bianchang + 1;max = sum[i][j] - sum[i][j - shoudu_bianchang] - sum[i - shoudu_bianchang][j] + sum[i - shoudu_bianchang][j - shoudu_bianchang];}}}printf("%lld %lld\n", shoudu_hang, shoudu_zhong);return 0;
}

• 记得开long long