排序算法--快速排序

一、三色旗问题

问题描述

有一个数组是只由0，1，2三种元素构成的整数数组，请使用交换、原地排序而不是计数进行排序：

解题思路

1.定义两个变量，i和j（下标），从index=0开始遍历

2.如果a[index]==0，swap(a[index++],a[++i]);这里index++是因为index左边不可能有==2的数据了

3.如果a[index]==1，index++;

4.如果a[index]==2，swap(a[index],a[--j]);这里index没有++是因为在右侧不知道交换过来的数据是大于1还是小于1还是等于1，留到下一轮继续判断

5.i的含义：<=i 的部分都是比1小的。所以i的初始值为-1

6.j的含义：>=j 的部分都是比1大的。所以j的初始值为n

列举实例

int a[]={1,1,2,0,1,1,0,2,0,1,2};

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;void quick(vector<int>& v)
{int n=v.size();int i=-1,j=n;int idx=0;int key=1;while(idx<j){if(v[idx]==key) idx++;else if(v[idx]<tmp) swap(v[++i],v[idx++]);else if(v[idx]>tmp) swap(v[--j],v[idx]);   }
}
int main()
{int n;cin>>n;vector<int> v(n);for(int i=0;i<n;i++){cin>>v[i];}quick(v);for(auto e : v){cout<<e<<" ";}cout<<endl;return 0
}

 二、分治思想

假设你是农场主，有一小块土地。你要将这块土地均匀地分成方块，且分出的方块要尽可能地大。显然一下的分法都不符合要求：

 如何将一块地均匀地分成方块，并确保分出的方块是最大地呢？使用分而治之地策略！

分而治之算法是递归的。过程包括两个步骤：

第一步：找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。

第二步：不断将问题分解成解法相同的两个问题（不断缩小问题规模，直至找到基线条件）

能使用的最大方块有多大呢》首先找出基线条件。最容易处理的情况是，一条边的长度是另一条边的整数倍。

如果一条边长为25m，另一边长为50m，那么可使用地最大方块就是25*25的。换言之，可以将这块地分成两个这样的方块。

每次递归调用都必须缩小问题的规模。如何缩小前述问题的规模呢？我们首先找出这块地可容纳的最大方块。

 可以从这块地中画出两个640*640的方块，同时余下一小块地。现在是顿悟时刻：为何不对余下的那一小块地使用同样的算法呢？

 最初要划分的土地尺寸为1680*640，而现在要划分的土地更小，为640*400.适用于这小块地的最大方块，也是适用于整块地的最大方块。换言之，你将均匀划分1680*640土地的问题，简化成了640*400土地的问题

下面再次使用同样的算法。对于640*400的土地，可以从中划分出的最大方块为400*400。这将余下一块更小的土地：400*240。

 可以从这块土地中划分出最大的方块余下一块更小的土地，尺寸为240*160

接下来继续划分最终余下：160*80的土地。余下的这块土地，满足基线条件，因为160是80的整数倍2倍，将这两块土地划分为两个方块后，将不会余下任何土地。

因此对最初那块地的划分，适用的最大方块为80*80

 这里重申一下分治的工作原理

1.找出简单的基线条件。

2.确定如何缩小问题的规模，使其符合基线条件。

三、快速排序

对于排序算法来说，最简单的数组是什么样子的呢？其实就是根本不需要排序的数组。

也就是空数组或者只包含一个元素的数组。因此基线条件为空数组或单元素的数组。在这种情况下，只需要返回数组--根本不用排序。

void QuickSort(int arr[],int n){if(n<2) return;
}

下面我们看一下更长的数组：双元素数组。对包含两个元素的数组进行排序也很容易：

检查第一个元素是否比第二个元素小，如果不比第二个小，就交换它们的位置

那么接下来就是三元素数组。对包含三个元素的数组进行排序：

我们理所应当的想到了一开始提到的三色旗问题，和分而治之的思想。

工作原理

第一步：从数组中选取一个元素，这个元素被称为基准值。

我们暂时将数组的第一个元素用作基准值。

第二步：找出比基准值小的元素以及比基准值大的元素。

小的放到基准值左边，大的放到基准值右边。

现在数组被我们分成了三个部分：

一部分为小于基准值的所有元素

基准值(此时，基准值已经被放在了它所应在的位置)

一部分为大于基准值的所有元素

这里只是进行了分区，得到的两个子数组是无序的。单如果这两个数组是有序的，对整个数组进行排序非常容易。

 如果子数组是有序的，就可以像下面这样合并并得到一个有序的数组：左边的数组+基准值+右边的数组。在这里，就是【10，15】+【33】+【 】，结果为有序数组【10，15，33】.

如何对子数组进行排序呢？

对于包含两个元素的数组(左子数组)以及空数组(右子数组)，快速排序直到如何将它们排序，因此只要对这两个子数组进行快速排序，再合并结果，就得到了一个有序数组!

代码实现 

#include <bits/stdc++>
using namespace std;void quickSort(vector<int>& v,int L,int R)
{if(L>=R) return;int key_val=v[L];int i=L-1,j=R+1;int idx=L;while(idx<L){if(v[idx]==key_val) idx++;else if(v[idx]<key_val) swap(v[++i],v[idx++]);else if(v[idx]>key_val) swap(v[--j],v[idx]);}quickSort(v,L,i);//将左子数组进行快排quickSort(v,j,R);//将右子数组进行快排//直到L==R，结束递归，每次递归都会将L-R的基准值放到合适的位置//递归结束后所有元素都已经排好序了
}

 算法分析

时间复杂度：O(nlogn)

对于快排而言，最优的情况就是，每次划分的都很均匀，假设要排序n个元素，第一次划分的时候，需要对整个数组扫描一下，做n次比较的时间为T(n)。然后将数组一分为二，那么各自还需要T(n/2)的时间（注意是最好的情况，所以平分一半）。于是不断地划分辖区，我们就有了下面地不等式推断：

T(1) == 0
T(n) <= 2*T(n/2) + n 
T(n) <= 2*(2*T(n/4)+n/2) + n == 4*T(n/4)+2*n
T(n) <= 4*(2*T(n/8)+n/4) + 2*n ==8*T(n/8)+3*n
...
T(n) <= nT(1) + (logn)*n == O(nlogn) 

稳定性：不稳定

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感谢大家！