概率密度函数（PDF）分布函数（CDF）——直方图累积直方图——直方图规定化的数学基础

对于连续型随机变量，分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的变上限积分，概率密度函数是分布函数的导函数。

如果我们有一个连续型随机变量$X$，其分布函数记为$F(x)$，而其概率密度函数记为$f(x)$，那么两者之间的关系可以通过微积分来描述：

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

根据微积分的基本定理，如果$f(x)$是连续的，则有：

$$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$$

这表明在任意点$x$，概率密度函数$f(x)$给出了分布函数$F(x)$在该点的变化率，即斜率。换句话说，概率密度函数表示了分布函数在每一点上的瞬时变化速度。

需要注意的是，这个关系只对连续型随机变量成立。对于离散型随机变量，我们没有概率密度函数的概念，因为离散型随机变量的概率分布在离散的点上具有非零值，而在这些点之外的概率为零。

对于离散型随机变量，我们通常讨论的是分布列（Probability Mass Function, PMF），它给出了随机变量取特定离散值的概率。

在图像处理中，直方图本质上就是概率密度函数（PDF），累积直方图本质上就是分布函数（CDF）。离散与连续之分。